新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结第一部分合情推理学习目标：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理:1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究:1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?题型1用归纳推理发现规律1、观察：715211；5.516.5211；33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22ba2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()fn表示第n幅图的蜂巢总数.则(4)f=_____;()fn=___________.推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证法数学归纳法【解题思路】找出)1()(nfnf的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(fff37181261)4(f133)1(6181261)(2nnnnf总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.思考探究:1.类比推理的结论能作为定理应用吗?2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法，hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等合情推理1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想思考探究:1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。第二部分演绎推理学习目标：理解演绎推理的含义（重点）掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）合情推理与演绎推理之间的区别与联系一、知识归纳：演绎推理的含义:1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.演绎推理又叫逻辑推理.2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.思考探究:演绎推理的结论一定正确吗?演绎推理的模式1.演绎推理的模式采用“三段论”:(1)大前提——已知的一般原理(M是P);(2)小前提——所研究的特殊情况(S是M);(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:(1)大前提:x∈M且x具有性质P;(2)小前提：y∈S且SM(3)结论：y具有性质P.演绎推理与合情推理合情推理与演绎推理的关系:(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.第三部分直接证明与间接证明学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。知识归纳：三种证明方法:综合法、分析法、反证法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin[解析]ABC为锐角三角形，BABA22，xysin在)2,0(上是增函数，BBAcos)2sin(sin同理可得CBcossin，ACcossinCBACBAcoscoscossinsinsin考点2分析法已知0ba,求证baba[解析]要证baba，只需证22)()(baba即baabba2，只需证abb，即证ab显然ab成立，因此baba成立总结：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3反证法已知)1(12)(axxaxfx，证明方程0)(xf没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设0x是0)(xf的负数根，则00x且10x且12000xxax112010000xxax，解得2210x，这与00x矛盾，故方程0)(xf没有负数根总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。知识归纳：数学归纳法的定义：一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k（𝑘∈𝑁+，且𝑘≥𝑛0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法步骤：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2k且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B总结：用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式)(kf（3）从)1(kf和)(kf的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子例2、用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn[解析]（1）当n=1时，左=√2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即2)1(21)1(3221kkk则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212kkkkkkk02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122kkkkkkkk2]1)1[(21)2)(1()1(3221kkkkk当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立总结：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面