24[1].2.2--直线和圆的位置关系(3.4)

达连河镇第一中学：汪多敏问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？·O·O·OP·P·P·A问题2、经过⊙O外一点P，如何作已知⊙O的切线？过⊙O外一点P作⊙O的切线O·PABO作法:1.连接OP.2.以OP为直径作圆,设此圆交⊙O于点A、B.3.连接PA、PB.则直线PA、PB为所求.通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称一、切线长定义从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线，不可以度量。（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段长，可以度量。若从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.二、切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法·opAB∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒APO。B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.又∵PC=PC.∴△PCA≌△PCB,∴AC=BC.C一、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，连结PO，则度。50APBAPOPBOA二、填空25（1）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE的周长为（）AA16cmD8cmC12cmB14cmDCBEAP三、选择例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP中，由勾股定理，得PA2+OA2=OP2即42+x2=(x+2)2解得x=3cm所以，半径OA的长为3cm.·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ·P·OABc例3：如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。3解：连接OA、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋23∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）23解得x＝2，即OA＝OC＝233∴OP＝43在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°3例4、已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC。DABCOGHEF证明:∵AB、BC、CD、DA都与⊙O相切,E、F、G、H是切点.∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.即AB+CD=AD+BC.结论:圆外切四边形的对边和相等.例5.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm.(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数.C·OPBDAE解:(1)连接OA、OB、OE,∵PA、PB分别是⊙O的切线,A、B、E为切点.∴△PCD的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB=PA+PB=7+7=14(cm).∴DA=DE,CB=CE,∴DC=DE+CE=DA+CB.∴OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥DC.C·OPBDAE(2)∵PA、PB分别是⊙O的切线,∴DA=DE,∠ADO=∠EDO.在四边形APBO中,∠AOB=180°－∠P=134°∴DA、DE为⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.又∵DO=DO，∴△AOD≌△EOD，∴∠AOD=∠EOD.同理∠BOC=∠EOC.∴∠DOC=∠DOE+∠COE=.671342121AOB思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说明理由。FOEDPBA知识拓展已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：△PEF的周长和∠EOF的大小。EAQPFBO思考如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。数学探究COBADEF．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。·BDEFOCA例1、如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算1、求一般三角形内切圆的半径·ABCEDFO例2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c·ABCEDFO例3、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。例4：已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=5。、、的长分别是、、cmcmcmCEBDAF594例1△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.EFHG正方形22cm2cm知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部a+b-c2知识拓展3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.14.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。小结：EAPO。BCD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPB,OP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.切线长定理的应用.我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个知识小结直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部a+b-c2作业布置：课堂作业：P101习题24.2第5、12