微积分课件

微积分rxdtdx微积分微积分第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习微积分第一章函数•集合•函数概念•函数的几种特性•反函数•复合函数•初等函数微积分函数-集合集合是指具有特定性质的一些事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作aM(读作a不属于M).集合定义微积分函数-集合例子1.1990年10月1日在南宁市出生的人。2.彩电、电冰箱、VCD。3.x2-5x+6=0的根。集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。由有限个元素构成的集合，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；4.全体偶数。微积分函数-集合集合的表示法1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用{}括起来。例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A={2,3}注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。微积分函数-集合2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A={a|P(a)}例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：A={x|x2-5x+6=0}例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R={x|x为实数}微积分函数-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)如果AB且或AB，则称A与B相等。1.AA即集合A是其自己的子集。2.传递性AB、BC则AC。3.A，即空集是任何集合A的子集。微积分函数-集合全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。不含任何元素的集合称为空集，记为：。例1：x2+1=0实数根集合为空集。例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。注：{0}及{}都不是空集，前者有元素0，后者有元素。微积分函数-集合集合的运算集合的并：AB={x|xA或xB}集合的交：AB={x|xA且xB}集合的差：A-B={x|xA且xB}微积分函数-集合区间在一条直线上指定了一点作为原点O，再指定了正向，此外又规定了单位长度，这条直线就称为数轴。数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x，就是指数轴上与数x对应的那个点。1-10Ox微积分函数-集合闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}开区间：(a,b)={x|axb}左闭右开区间：[a,b)={x|a≤xb}左开右闭区间：(a,b]={x|ax≤b}有限区间OxabOxabOxabOxab微积分函数-集合[a,+∞)={x|a≤x}(-∞,b]={x|x≤b}(-∞,b)={x|xb}无限区间实数集Ｒ＝(-∞,+∞)={x|-∞x+∞}OxaOxb(a,+∞)={x|ax}OxbOxa微积分函数-集合邻域Ｕ(a,δ)={x||x-a|δ}={x|a-δxa+}=(a-δ,a+δ)称为点a的δ邻域。a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。xaa-δa+δ例：Ｕ(2,1)={x||x-2|1}={x|1x3}=(1,3)x213δ=1δ=1微积分函数-集合空心邻域Ｕ(a,δ)={x|0|x-a|δ}={x|a-δxa或axa+δ}=(a-δ,a)U(a,a+δ)称为点a的δ空心邻域。xaa-δa+δ例：U(2,1)={x|0|x-2|1}={x|1x2或2x3}=(1,2)U(2,3)x213δ=1δ=1微积分函数-函数概念定义设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，若对于x∈D，变量y按照确定的法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作)(xfy自变量因变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyZ微积分函数-函数概念函数的两要素:定义域与对应法则.()D0xx自变量()W)(0xfy对应法则f因变量约定:如果不考虑函数的实际意义，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值，称为函数的自然定义域。21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D微积分函数-函数概念如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．oxyyx),(yxDW．例如，222ayx定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxC微积分函数-函数概念几个特殊的函数举例(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当xxxsgn1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线微积分函数-函数概念非负小数部分函数取整函数y=(x)=x-[x]x=7/3时,[x]=2，(x)=0.5x=1/3时,[x]=0，(x)=1/3x=-8/5时,[x]=-2，(x)=0.4O-2-1121y=(x)xy微积分函数-函数概念(3)狄利克雷函数是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg微积分函数-函数概念在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy(5)绝对值函数0,0,||xxxxxyoxy定义域R值域),0[微积分函数-函数概念y=xy=√x21-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51y=x2/x-1-0.50.510.20.40.60.81微积分函数-函数概念例子例1：确定函数y=的定义域。lg(3x-2)1lg(3x-2)≠03x-203x-2≠1x2/3x≠1{}D=(2/3,1)(1,+∞)例2：确定函数y=arcsin的定义域。√25-x21x-15+解：解：{x-15≤1√25-x2≠025-x2≧0-4≤x≤6}|x-1|≤525-x20-5x5}D=[-4,5)微积分函数-函数概念246810-5510-4-224-1123456lg(3x-2)1y=√25-x21x-15+y=微积分函数-函数概念例3：确定函数y=的定义域。√lntgx1lntgx0tgx0tgx1x(kπ,kπ+){}解：x≠kπ+π2π2x(kπ+,kπ+)π4π2x(kπ+,kπ+),k=0,±1,±2,±3,……为所求的定义域π4π20.81.21.42.557.51012.51517.5微积分函数-函数的性质1．函数的有界性:,)(,,0,成立有若MxfXxMDX..)(否则称无界上有界在则称函数XxfM-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX0x无界存在任意微积分函数-函数的性质例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)内是有界的。因为|sinx|≦1。例2:f(x)=1/x在(0,1)内是无界的。在[1,+∞)内有界。例3:内有界在),(1)(2xxxf),(211)1(11)(222122xxxxxxxxf微积分函数-函数的性质2．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()1(21xfxf恒有;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI微积分函数-函数的性质,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI,,)(DIDxf区间的定义域为设函数微积分例如,函数yx3在(,)内单调增加。3xyxyo微积分而函数yx2在区间(,0)内单调减少；在区间(0,)内单调增加。2xyxyo微积分函数-函数的性质例1:判断函数y=x3的单调性。解：对于任意的xl、x2，设xl＜x2x23-x130,所以x23x13，故y=x3在(-∞,+∞)是单调增加的。当x1x2≥0时x12+x1x2+x220所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)当x1x20时x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x20所以f(x2)-f(x1)0微积分函数-函数的性质例2:判断函数y=2x2+1的单调性。解：xl、x2R，设xl＜x2(x1+x2)0当xl、x2(-∞,0]f(x1)-f(x2)=(2x12+1)-(2x22+1)=2(x12-x22)=2(x1-x2)(x1+x2)f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调减少(x1+x2)0当xl、x2[0,+∞)f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调增加所以在(-∞,+∞)内，不是单调函数微积分函数-函数的性质3．函数的奇偶性:有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为偶函数称xfyx)(xf)(xfyox-x)(xf偶函数微积分函数-函数的性质有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇函数微积分函数-函数的性质例1:判断函数y=x4-2x2的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)4–2(-x)2=x4-2x2=f(x)∴y=x4-2x2是偶函数。例2:判断函数y=1/x的奇偶性。解：∵f(-x)=1/(-x)=-(1/x)=-f(x)∴y=1/x是奇函数。例3:判断函数y=x3+1的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)3+1=-x3+1∴y=x3+1既不是奇函数又不是偶函数。≠f(x)≠-f(x){-2-112-1-0.50.511.5-2-112-40-202040-1-0.50.510.980.991.011.02微积分例4讨论函数的奇偶性.)1ln()(2xxxf所以f(x)是（－∞,+∞）上的奇函数.函数f(x)的定义域（－∞,+∞）是对称区间，)()1ln()11ln()1ln()(222xfxxxxxxxf解微积分例5设)(xf是定义在),(aa上的任意函数。证明：),(,)()()(aaxxfxfxg是偶函数；而),(,)()()(aaxxfxfxh是奇函数。证明是容易的。由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：)]()([21)]()([21)(xfxfxfxfxf微积分例6判断函数0,320,32)(xxxxxf的奇偶性。解0,320,32)(xxxxxf0,320,32xxxx,)(xf故f(x)是偶函数.xyo2-11微积分函数-函数的性质D为函数f(x)的定义域，如果存在一个不为零的数l，xD值，x±lD，且f(x+l)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，l叫做f(x)的周期。通常，我们说周期函数的周期是指最小正周期。例1:函数y=sinx,y=cosx,是周期函数，周期为2π。4．函数的周期性:微积分注意：并非任意周期函数都有最小正周期.是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数。微