随机变量的分布函数-新疆医科大学

随机变量的分布函数•主讲人：陈琳•单位：新疆医科大学•医学工程技术学院数学教研室•某宾客在9点到10点之间任意时刻都可能到达，问宾客9：10分-20分来的概率？问宾客9点10分到达的概率有多大？一支质量均匀的粉笔，每一段的质量都可以称出来，但是你知道粉笔上某一点的质量吗？线密度？单位长度的质量？如果非均匀的粉笔呢？线密度函数？质量分布函数的瞬时变化率！1x2x1()Fx2()Fx2121121()()lim()xxFxFxxxx概念定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数(){}FxPXx称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：).()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxPx1x2xXo0xxX(){}FxPXx例1设随机变量X的分布律为：求X的分布函数.Xpk21-1234141解：当x-1时，XXx满足的的集合为，0２xX３-1x.0}{}{)(PxXPxF当21,x时满足Xx的X取值为X=-1,.41}1{}{)(XPxXPxF２xX３-1x当32,x时满足Xx的X取值为X=-1,或2.2141}21{}{)(XXPxXPxF或Xpk21-1234141同理当3,x时.1}321{}{)(XXXPxXPxF或或.3,1,32,43,21,41,1,0)(xxxxxF-10123x1-10123x1214141分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为pk=P{X=xk}.Xpk21-1234141例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若x0,则是不可能事件，于是{}Xx(){}()0.FxPXxP（2）202,{0},xPXxkx若由题意，X02x于是，当时2(){}{0}{0}.4FxPXxPXPXxx（3）若,则是必然事件，于是}{xX2x.1}{)(xXPxF21/4,{0}.4xkPXx得即2,{0X2}1,xP取由已知得与上式对比.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF01231F(x)xX表示弹着点与圆心的距离分布函数的性质分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数F(x)具有以下基本性质：).()(1212xFxFxx时，即当10F(x)是一个不减的函数．01231F(x)x20.1)(lim)(;0)(lim)(,1)(0xFFxFFxFxx且30.)(),()0(是右连续的即xFxFxF-10123x100000,()(){}{}()xxFxFxPxXxPXxxx当时0000,()(){}{}0()xxFxFxPxXxPxx当时用分布函数计算某些事件的概率FxPXxX设是随机变量的分布函数，则0PXaFaPXaFa-10123x1用分布函数计算某些事件的概率aXPbXPbXaP0aFbFaXPbXPbXaPaFbF0aXPbXPbXaP00aFbFPaXbPXbPXaFbFa1PXbPXb1Fb1PXbPXb10FbPXaPXaPXa0FaFa离散随机变量在取值处的概率非零，其它点的概率都为零连续随机变量任一点的概率都为零例3X设随机变量的分布函数为00012212311231213xxxFxxxx331122413PXPXPXPXPXPX试求：⑴．⑵．⑶．⑷．⑸．⑹．解：3311133012211111032611131122441112440211212111513301012212PXFPXFPXFFPXFPXFFPXFF⑴．⑵．⑶．⑷．⑸．⑹．例4设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有FxABarctgxxAB试求常数、．0limlim2xxFxABarctgxAB1limlim2xxFxABarctgxAB例4（续）解方程组1202BABA得解．，121BA随机变量大体分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量根据取值范围来说，前者是取值有限或者无限可数个，后者是取值充满整个区间，无限不可数个。根据分布函数的图形特点来看，前者是阶梯形函数，后者是递增连续函数而且，前者跳处才有非零概率，而且跳的高度就是对应点的概率，后者没有跳，所以点点概率为0.分布函数可以捕捉到离散型随机变量的特征，并以分布列的形式表达，那么，连续型随机变量的分布函数很难捕捉其特征，怎样才能找到这种特征呢？微积分告诉我们答案导数概率密度函数第五周作业1一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.§3随机变量的分布函数返回主目录X2设随机变量的分布函数为00012212311231213xxxFxxxx331122413PXPXPXPXPXPX试求：⑴．⑵．⑶．⑷．⑸．⑹．