线性方程组的解法毕业论文

编号学士学位论文线性方程组的解法学生姓名夏米西努尔·阿不力米提学号20050105038系部数学系专业信息与计算科学年级2005-5班指导教师哈帕尔·如斯台木完成日期2010年5月14日学士学位论文BACHELOR’STHESIS摘要本文主要讨论：线性方程组有解的判别定理，解的求法，线性方程组解的结构。关键词线性方程组；矩阵的秩；增广矩阵；系数矩阵；解的结构；基础解系学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录摘要...........................................................................................1引言...........................................................................................11.线性方程组.........................................................................11.1一般线性方程组.....................................11.2线性方程组有解的判别定理...........................21.3线性方程组的初等变换...............................32.线性方程组的解法.............................................................42.1克拉默（CRAMER法则）...............................42.2消元法............................................83.线性方程组解的结构.......................................................113.1一般线性方程组解的结构...........................16总结.........................................................................................20参考文献.................................................................................20致谢.........................................................................................22学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言线性方程组是高等代数中重要概念之一，因此，有必要系统而深入地讨论求解线性方程组的问题。对方程的个数与未知量的个数相等,且未知量的系数行列式不为零的线性方程组用克拉默法则来解，但是行列式的阶数比较高时，用这种方法比较麻烦;当方程的个数相等未知量的个数且系数行列式为零时，不能使用克拉默法则，所以我们讨论一般线性方程组满足什么条件时才有解？如果有解，那么如何求解？如果方程组的解不是唯一时，那么无穷多解如何表示成有限个解的问题，即通过找出基础解系把线性方程组的无穷多解可用有限个解来表示等问题。1.线性方程组1.1一般线性方程组一般线性方程组是指形为11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1的方程组，其中12,,,nxxx代表n个未知量；m是方程的个数，ija1,2,,,1,2,,imjn称为方程组的系数1,2,,jbjm称为常数项。方程组1中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等，系数ija的第一个指标i表示它在第i个方程j表示它是jx的系数。线性方程组1还可以表示成矩阵形式：引入矩阵学士学位论文BACHELOR’STHESIS2111212212212....................nnmmmnaaaaaaAaaa12mbbbb，12nxxXx(2)那么方程组1可以写成AXb3矩阵A称为线性方程组1的系数矩阵，X称为未知量矩阵，b称为常数项矩阵11121122212212......nnmmmnmaaababaaAaaab4称为线性方程组1的增广矩阵。若1122,,,nnxkxkxk是方程组1的一个解，则12nkkXk称为方程组1的一个解向量，它就是方程组1的一个解。1.2线性方程组有解的判别定理定理1（线性方程组有解的判别定理）线性方程组1有解的充要条件是它的系数矩阵学士学位论文BACHELOR’STHESIS3111212212212....................nnmmmnaaaaaaAaaa和增广矩阵11121122212212......nnmmmnmaaababaaAaaab有相同的秩。证明充分性：如RARA，那么向量组12,,,n与向量组12,,,n,有相同的秩，于是向量组12,,,n与向量组12,,,n,有相同的最大独立组，故可由该最大独立组线性表示，从而可由向量组12,,,n线性表示，即存在一组数12,,,nkkk使1122nnkakaka成立。必要性：如存在一组数12,,,nlll使1122nnlll成立，这说明可由向量组12,,,n线性表示,从而向量组12,,,n与向量组12,,,n,等价。于是向量组12,,,n与向量组12,,,n,有相同的秩，即RARA。1.3线性方程组的初等变换定义1下列三种变换称为线性方程组的初等变换；1.交换两个方程的位置；2.用一个非零的数乘某一个方程；3.把一个方程乘某一非零数后加到另一个方程；证明我们只证明第三种变换，其他的变换很容易证明。把方程组〈1〉的第二个方程乘上k后加到第一个方程，得学士学位论文BACHELOR’STHESIS411211122221212211222221122()()()nnnnnmmmnnmnakaxakaxakaxbbaxaxaxbaxaxaxb5设12,,,nccc是方程组1的任一解，因1与5的后1m个方程是一样的，所以（12,,,nccc）满足5的后1m个方程，又（12,,,nccc）满足1的前两个方程：11112211nnacacaxb621122222nnacacacb7将7式乘k后加到6式可得，11211122221212()()()nnnakacakacakacbkb。这就是说123,,,,ncccc满足5的第一个方程，因此123,,,,ncccc是5的一个解。类此地可证5的任一解也是（1）的解这就证明了（1）与5是同解的。2.线性方程组的解法2.1克拉默（Cramer法则）定理1（Cramer法则）n个未知量n个方程的线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（8）的系数矩阵学士学位论文BACHELOR’STHESIS5111212212212....................nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式0dA,那么线性方程组（8）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,nndddxxxddd其中jd是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项12,,,nbbb所成的矩阵的行列式，即111,111,11212,122,121,1,1,1,2,,jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaadjnaabaa证明1.把方程组（8）简写为1,1,2,,nijjijaxbin.首先验证1212,,,nndddxxxddd是（8）的解.我们把1212,,,nndddxxxddd代入第i个方程，左端为111nnjijijjjjdaaddd因为学士学位论文BACHELOR’STHESIS611221njjjnnjssjsdbAbAbAbA，所以11111111111111nnnijjijssjjjsnnijsjsjsnnijsjssjnnijsjssjadabAddaAbdaAbdaAbd由1,0,nksissdkiaAki当当，有1111.nnijsjiisjaAdbbdd.这与第i个方程的右端一致。换句话说，把1212,,,nndddxxxddd代入方程使它们同时变成恒等式，因而1212,,,nndddxxxddd确为方程组（8）的解。2.设12,,,nccc是方程组（8）的一个解，于是有n个恒等式1,1,2,,nijjijacbin.为了证明kkdcd，我们取系数矩阵中第k列元素的代数余子式12,,,kknkAAA，用它们分别乘1nijjijacb中n个恒等式，有学士学位论文BACHELOR’STHESIS71,1,2,,nikijjiikjAacbAin，这还是n个恒等式。把它们加起来，即得111nnnikijjiikijiAacbA等式右端等于在行列式d按第k列的展开式中把ika分别换成1,2,,ibin，因此，它等于把行列式d中第k列换成12,,,nbbb所得的行列式，也就是kd。再来看111nnnikijjiikijiAacbA的左端。即11111111.nnnnikijjijikjijijnnijikjjinnijikjjiAacaAcaAcaAc由10,nijikidaAjk，当j=k当所以11nnijikjkjiaAcdc。于是，111nnnikijjiikijiAacbA即为,1,2,,kkdcdkn.这就是说，如果12,,,nccc是方程组的一个解，它必为学士学位论文BACHELOR’STHESIS812,,,ndddddd，因而方程组最多有一组解。例1用Cramer法则求解方程组1234123412341234224432685341233226xxxxxxxxxxxxxxxx解2211431220853433221421163122125346322d2241146122812343622d3224143622851243362d4221443162853123326d所以，方程组的解为：111dxd221dxd331dxd441dxd2.2消元法消元法的过程就是反复施行初等行变换。对线性方程组进行行初等变学士学位论文BACHELOR’STHESIS9换，相当于增广矩阵A进行行初等变换，化成阶梯形11121122212212......nnmmmnmaaababaaAaaab设A1112111222221000rnrnrrrnrrccccdcccdccdd