悖论在三次数学危机中的作用

数学之美2007年11月总第3期1数学方法与数学思想编辑点评：该文谈悖论，但并不是面面俱到地谈悖论，而是专门谈悖论在三次数学危机中的作用，不但主题鲜明、集中，而且由于三次数学危机在数学史中的地位，文章的选题就也显得非常重要。作者对悖论与三次数学危机的关系，有比较准确、深入的理解；又查阅了大量的文献，用自己的语言组织成文，文字通顺，脉络清晰，繁简得当，论述到位。读者从这篇文章中，不仅能够了解什么是悖论，还能够了解什么是历史上的三次数学危机；不仅能够了解悖论在其中的作用，而且能够了解危机的解决对推动数学发展的作用；所以，本文有相当的可读性，是一篇优秀的论文。悖论在三次数学危机中的作用王子珺（数学科学学院统计学系0510162）摘要：本文介绍了悖论在推动数学发展过程中的贡献，主要关注悖论引发的三次数学危机，以及研究悖论的重要意义。关键词：悖论；数学危机1什么是悖论有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。悖论——paradox来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，也可以证明它是假。《辞海》中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。即如果你假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导可以得出该命题是假的；反之如果假定命题为假，则又能同样合理地推出命题为真。这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。每一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这个新理论向前推进。随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。悖论当然也具有非常重要的数学意义。从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起了巨大的推动作用。这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是它们造成数学之美2007年11月总第3期2了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。2希伯斯悖论——第一次数学危机公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比，而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。然而，正是这个在当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即2为无理数的证明）。这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不可以被整数或其比所表示，这是违背了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错误”结论。这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进地中海。尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。希伯斯的问题导致了数学史上第一个无理数2的诞生。它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击，从而导致了第一次数学危机。在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数的基础理论。为解决这一问题，人们把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。直到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。它在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。这次危机也使得人们感到几何应占有特殊地位，几何越来越受重视，欧氏几何学直至笛卡尔(Descartes)解析几何应运而生。著名的《几何原本》也是在这时诞生的。同时，人们明白了直觉和经验不一定靠得住，而步骤严谨的推理证明才是可靠的。由此，严密的逻辑推理证明成为今后解决数学以及其他各门学科问题的重要方法并沿用至今，古典逻辑也由此而生。而且，在解决这一问题的过程中，必然涉及到无限、极限和连续，而这些概念恰恰又是现代数学分析的基础。因此可以说，正是希伯斯悖论的解决，“万物皆数”理论的崩溃，才隐约显现出现代数学分析的萌芽，希腊数学也成为了现代数学的始祖。在无理数引进后，人们越来越觉得还有其它形式的数存在，随着数学与其它学科的不断发展，又逐步引入了虚数、负数、无穷小、无穷远点等。这些量的引入也曾一度引发了不数学之美2007年11月总第3期3小的混乱，尤其无穷小量的使用，更是掀起了轩然大波，激起了众多人的怀疑与批判，甚至引发了第二次数学危机。3贝克莱悖论——第二次数学危机在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立微积分学的时期，尽管它的成果丰硕,但其理论基础相当薄弱，出现了越来越多的悖论，常常有不能自圆其说的情况。更由于十八世纪时的西方数学观念主要渊源于古希腊文化，如上所说，此时的科学家已非常注重推理逻辑的严密性；但是微积分学中对于无穷小量的应用却是完全建立在使用的有效性之上，更多人是将无穷小量作为一种解题技巧来使用而不去研究其严密性。因此，微积分学中的逻辑严密性遭到了当时不少人的猛烈抨击，如贝克莱（Berkeley）、格兰弟（Grandi）以及芝诺(Zeno)等人。其中著名的唯心主义哲学家贝克莱主教提出的悖论，是对基础有缺陷的微积分学最强有力的批评。贝克莱不仅是一位哲学家，而且他精通数学，为了维护宗教利益，他挑出了当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击，并曾在他的著作《分析学者》一书中专门批评了牛顿的求导过程不正确。牛顿在求y=x3这个函数的导数时，由y=(x+x)3-x3得到y=3x2x+3xx2+x3,然后再除以x，得到xy=3x2+3xx+x2，最后令x=0，求得函数y的导数xy=3x2。贝克莱批评在此过程中，x一会不等于0，一会又等于0，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数xy作为y与x消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就只不过是“消失了的量的鬼魂”，不具有任何逻辑意义。上面的这个问题就是著名的“贝克莱悖论”，其核心就是x的无穷小的增量x究竟是否等于0。从无穷小量在运算过程中的使用来看，要作为除数它必须不是0，但最后又要把它当作是0而忽略。但从一般人的认知上讲，是0或非0的确是一个矛盾。这一悖论的提出在当时的数学界乃至整个社会都引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。贝克莱所谓的“消失了的量的鬼魂”，显然是过分之词。但不得不承认，他提出的问题准确地抓住了当时的微积分理论概念不清晰、运算缺乏严密逻辑基础的弊病，正对准了微积分学最薄弱的地方。他坚持：微积分学的发展包含了偷换假设的逻辑错误。尽管当时的很多科学家都曾试图解决这个悖论所提出的问题，但由于微积分学的理论基础实在太薄弱了，大多数人都没有很大的进展。于是后来的更多科学家不顾基础的严密与否，而是转向研究微积分学的上层分支，并且也得到了一系列重要成果。与贝克莱同一时期，意大利修道士格兰弟对级数的收敛、发散含糊不清的情况提出的悖论“从虚无创造万有”，即无穷级数x=1-1+1-1+…的求和问题，也是第二次数学危机的主要导火线。一方面，无穷级数x=(1-1)+(1-1)+…=0；另一方面，x=1-(1-1)-(1-1)-…=1。由上可以得出0=1，在等式两边同乘任何数，就得到0=任何数，于是格兰弟称从虚无(0)创造万有(任何数)。第二次数学危机的另一导火线当然还包括著名的古希腊诡辩家芝诺提出的四大悖论，它们是对于微积分中连续与离散以及无穷小的逻辑意义提出的问题，在此就不一数学之美2007年11月总第3期4一列举了。经过多年无数杰出学者的努力，特别是著名数学家柯西(Cauchy)的出现，重建微积分学的严密逻辑基础这项重要而困难的工作终于基本完成了。极限的ε-δ方法、建立在实数理论之上的极限理论，康托尔集合论的创立，宣布了第二次数学危机的基本解决。微积分的确立，清楚地表明了代数运算的优越性及其解决当时的科学问题的有效性和广泛性，并使得人们最终接受了微积分提供的思维意义上的概念和计算方法。随着微积分的建立，也给数学带来一个巨大的繁荣，逐渐建立起了常微分方程、偏微分方程、变分学、积分方程、无穷级数、复变函数与复分析、泛函分析等数学分支。可以说：微积分，带给了数学世界一个辉煌的时代，而对诸多悖论的研究，带给了微积分坚实的基础。但令人遗憾的是，无论是微积分学还是非欧几何的真理性，都被归结于实数理论的无矛盾性。这是第二次数学危机遗留下的一个尾巴。从某个方面讲，这也为第三次数学危机留下了隐患。4罗素悖论——第三次数学危机1874年，德国数学家康托尔(Cantor)创立了一门崭新的数学分支——集合论，它可以算是最基础的数学学科。说得大一点，它不仅是一切数学的基础，而且还是其它科学的基础。但集合论的严密性受到了一部分数学家的怀疑，其中包括一位英国哲学家罗素(Russell)。他苦思冥想了三年，终于找到了一个证明自己观点的简单明确的表达方式——罗素悖论。罗素悖论也称罗素——策墨罗(Zermelo)悖论，因为策墨罗也曾同时独立的发现了它。它基于康托尔集合论中的定义：一个元素要么属于某集，要么不属于它。罗素悖论叙述如下：集合可分为两种：一种是本身分子集的（自谓的），比如“一切集合组成的集合”也是一个集合，所以它必为该集合自身的一个元素，所以是一个本身分子集；第二种是非本身分子集，比如自然数集绝不是某个自然数，既非自谓的。这样一来任给一个集合，它不是本身分子集就是非本身分子集，二者必居其一。现在设A是一切非本身分子集之集，试问A是哪一种集合？事实上，若假设A是一个本身分子集，则A为自身的一个元素，而A中每一个元素皆为非本身分子集，故A亦为一个非本身分子集。与假设矛盾。若假设A是一个非本身分子集，则由A的定义知A∈A，故这恰符合本身分子集的定义，所以A又是一本身分子集。又与假设矛盾。总之，这与“A应该二者必居其一”矛盾。不幸的事情再次发生，历史重演，犹如第二次数学危机时发生的事情一样，数学理论基础的严密性再次受到威胁。这个悖论以其意义简单明确揭开了当时的数学基础康托尔集合论本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。罗素悖论引起了数学王国的一场大地震，动摇了整个数学的基础，使当时号称“天衣无缝”、“绝对正确”的数学陷入了自己自相矛盾的境地，于是引发了第三次数学危机。从罗素悖论提出之日起一直到今天许多数学家都试图解决悖论。这次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公里系统来对集合论做出必要的规定，以排除罗素悖论及其它相关悖论。于是很快便出现了很多解决它的公理系统。如弗兰克(Fraenkel)改进策墨罗的Z数学之美2007年11月总第3期5公理系统而得出的ZF公理系统，是最早的被公认无矛盾的系统；又如策墨罗之后再提出的ZFS公理系统和冯·诺伊曼的公理化集合论的第二个公理系统(NBG系统)。虽然它们可以消除悖论，但它们本身的缺点仍然很多，存在很多问题。不过再加上歌德尔、科恩等人的努力，到1983年建立了公理化集合论，即要求集合必须满足ZFC公理系统中十条公理的限制。此外数理逻辑也在众多人不断的研究过程中取得了很大发展，证明论、模型论、递归论也相继诞生，出现了数学基础理论、类型论、多值逻辑等。这些学科的发展，归根结底都是罗素悖论所