第4章-因式分解-最新北师大版八年级下册

第四章因式分解北师大版八年级下册CONTENT目录1、因式分解2、提公因式法3、公式法4.1因式分解课前预习1.把一个多项式化成几个__________的__________的形式，这种变形叫做因式分解.2.（x+3）2=x2+6x+9从左到右的变形是______________.3.4x2-9=（2x+3）（2x-3）从左到右的变形是______________.整式积整式乘法因式分解4.下列各式从左到右的变形是因式分解的为（）A.x（a-b）=ax-bxB.x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2C.x2-1=（x+1）（x-1）D.ax+bx+c=x（a+b）+c5.下列各式从左到右的变形①15x2y=3x·5xy；②（x+y）（x-y）=x2-y2；③x2-6x+9=（x-3）2；④其中是因式分解的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个CA名师导学新知1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．注意：（1）分解因式的对象是多项式；（2）分解因式的结果是化成整式的积的形式；（3）分解因式的结果要彻底，要在要求的范围内分解到不能再分解为止.【例1】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A.x2－9+6x=（x+3）（x－3）+6xB.（x+5）（x－2）=x2+3x－10C.x2－8x+16=（x－4）2D.（x－2）（x+3）=（x+3）（x－2）解析A.结果不是积的形式，不是因式分解；B.是整式的乘法，不是因式分解；C.是因式分解；D.是调换两个乘数位置，不是因式分解.故选C.答案C举一反三1.计算2x（3x2+1），正确的结果是（）A.5x3+2xB.6x3+1C.6x3+2xD.6x2+2x2.下列式子从左到右的变形是因式分解的是（）A.a2+4a-21=a（a+4）-21B.a2+4a-21=（a-3）（a+7）C.（a-3）（a+7）=a2+4a-21D.a2+4a-21=（a+2）2-253.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A.a（x－y）＝ax－ayB.x2+2x+1＝x（x+2）+1C.（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D.x3－x＝x（x+1）（x－1）CBD新知2因式分解与整式乘法的关系如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形．实质上，整式乘法和因式分解就是互逆的恒等变形过程．【例2】仔细阅读下面例题，解答问题.例：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n.解得n=-7，m=-21.∴另一个因式为（x-7），m的值为-21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．解析所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2，因式（2x-5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．解设另一个因式为（x+a），得2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），则2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a.∴另一个因式为（x+4），k的值为20.举一反三1.若x2-9=（x-3）（x+a），则a=__________.2.若x2-2x+a=（x-1）2，则a=__________.3.若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x恒成立，则n=__________.3144.2提公因式法课前预习1.把4a2b+10ab2因式分解时，应提取的公因式是____________.2.多项式x2-9与x2+6x+9的公因式为___________.3.因式分解：3（a+2）2-2（a+2）=________________.4.在括号内填上适当的因式：（1）-x-1=-（）；（2）a-b+c=a-（）.5.把多项式12x3y-18x2y2+24xy3因式分解，公因式为______________.2ab（x+3）（a+2）（3a+4）x+1b-c6xy名师导学新知1公因式的定义多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．找公因式的要点：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的；④第一项系数为负时，在找公因式时千万别忘了“-1”．【例1】分别写出下列多项式的公因式：（1）ax+ay：_________________；（2）3x3y4+12x2y：________________；（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：_______________；解析先确定一个多项式有几项，再观察其中的每一项都含有的相同因式是什么.解（1）多项式ax+ay有两项，每项都含有因式a，所以公因式是a；（2）多项式3x3y4+12x2y含有两项，每项都含有因式3x2y，所以公因式是3x2y；（3）多项式25a3b2+15a2b-5a3b3含有三项，每项都含有因式5a2b，所以公因式是5a2b.举一反三1.多项式x2y-y的公因式是____________.2.多项式5x3-10x2+5x的公因式是____________.3.多项式-2a2b+6a3b2的公因式是______________.y5x-2a2b新知2提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．用提公因式法进行多项式的因式分解可分为两个步骤：（1）确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；（2）将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一个因式．【例2】把下列各式因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）（y－x）2－y+x.解析（1）首先看两项系数8与12的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a与b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此确定提出的公因式是4ab2；（2）因为－y+x=-（y－x），所以原式两项中都含有相同的因式(y－x)，因此(y－x)就是两个式子的公因式．解（1）8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）；（2）（y－x）2－y+x=（y－x）2－（y－x）=（y－x）（y－x-1）.举一反三1.因式分解：ab－a=________________.2.因式分解：8x3y+4x2y=______________.3.因式分解：（a+b）2-a-b=_________________.a（b-1）4x2y（2x+1）（a+b）（a+b-1）新知3提公因式法因式分解与单项式乘多项式的关系单项式乘以多项式时，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，因此这个单项式就成了所得结果（多项式）的公因式，逆向变换就是在多项式中提公因式，从而把多项式分解成单项式乘以多项式的形式．【例3】把-3a4b3+9a3b4+6a2b5因式分解．解析先确定公因式：系数取3，9，6的最大公约数3，各项都含有字母a，b，其中a最低次数是2，b最低次数是3，故公因式为-3a2b3，提取此公因式即可．解-3a4b3+9a3b4+6a2b5=-3a2b3（a2-3ab-2b2）.举一反三1.因式分解：xy+x=_________________.2.因式分解：a2－2a=________________.3.若a=49,b=109,则ab-9a的值为：_______________.x（y+1）a（a-2）49004.3公式法课前预习1.下列各式能用平方差公式因式分解的是（）A.4x2+y2B.-a2+81C.-25m2-n2D.p2-2p+12.一个多项式分解因式的结果是（b3+2）（2-b3），那么这个多项式是（）A.b6-4B.4-b6C.b6+4D.4-b93.下列各式不能用平方差公式分解的是（）A.-a2+b2B.49x2y2-m2C.-x2-y2D.16m4-25n2BBC4.分解因式：（1）-x2+y2=_______________________；（2）x2-0.25y2=_____________________．5.利用因式分解简便计算.（要求写出完整的计算过程）（1）2012-1992;（2）1.992+1.99×0.01.（y+x）（y-x）（1）800（2）3.98名师导学新知1用平方差公式因式分解根据整式乘法和因式分解的互逆关系，可以得到形如a2-b2的多项式因式分解的方法，即a2-b2=（a+b）（a-b），我们把它称为分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差．平方差公式特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积.【例1】把下列各式因式分解：（1）25－16x2；（2）9（m+n）2－（m－n）2.解析这两个多项式都不能用提公因式法分解因式，但都可以把它们化成两个式子的平方差，然后用平方差公式分解因式.解（1）25－16x2=52－（4x）2=（5+4x）（5－4x）；（2）9（m+n）2－（m－n）2=[3（m+n）]2－（m－n）2=[3（m+n）+（m－n）][3（m+n）－（m－n）]=（3m+3n+m－n）（3m+3n－m+n）=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）.举一反三1.因式分解：9-x2=___________________.2.因式分解：（2a+1）2-a2=_________________.（3+x）（3－x）（3a+1）（a+1）新知2用完全平方公式因式分解乘法公式中形如（a±b）2可以运用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2进行计算．因为因式分解是整式乘法的逆变形，故可以得到因式分解的完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2.形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式．【例2】下列各因式分解正确的是（）A.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B.x2+2x-1=（x-1）2C.4x2-4x+1=（2x-1）2D.x2-4x=x（x+2）（x-2）解析根据完全平方公式与平方差公式因式分解，提公因式法因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解.A.-x2+（-2）2=-x2+4=（2-x）（2+x），故本选项错误；B.x2+2x-1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误；C.4x2-4x+1=（2x-1）2，故本选项正确；D.x2-4x=x（x-4），故本选项错误.答案C举一反三1.下面的多项式可以用完全平方公式因式分解的是（）A.x2+y2B.x2-yC.x2+x+1D.x2-2x+12.因式分解：9+6a+a2=_________________.3.因式分解（a－b）（a－4b）＋ab的结果是____________.D（3+a）2（a-2b）2新知3因式分解的方法与思路总结1.因式分解的方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；（2）公式法:平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2.2.因式分解的思路：（1）有公因式时，应先提公因式；（2）没有公因式时，考虑是否符合公式的特征，能否用公式法分解，可以则用公式法分解；（3）有些式子提完公因式后还能用公式，有些式子用了公式后还能再用公式；（4）分解因式要彻底，要分解到不能再分解为止：【例3】把下列各式因式分解.（1）x3y-2x2y+xy；（2）x4-81；（3）2x3－8x.解析因式分解时，要注意能提公因式的应先提公因式，且一定要分解到每个因式都不能再分解为止．解（1）x3y-2x2y+xy=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）x4-81=（x2+9）（x2-9）=（x2+9）（x+3）（x-3）；（3）2x3－8x=2