双曲线的几何性质

由椭圆的第一个性质出发，首先来学习双曲线的第一个性质—范围.1.范围：观察双曲线，可以看出它在不等式x≤-a，x≥a的区域里下面利用双曲线的标准方程：求出它的范围：将方程①化为即x≤-a，x≥a.①2222xy-=1(a0,b0)ab22x≥1aMOF1F2xy(-c,0)(c,0)MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.对称性：类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.12222xy+=ab（ab0）3.顶点：在方程①里，令y=0，得x=±a，因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0)，A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数根说明双曲线和y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（图2.3-6）两个交点，它们叫做双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-64.渐近线可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d=MQ越来越小，但永远不等于0.A1A2F1F2B1B2ObaMQ若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.xy±=0abA1A2F1F2B1B2ObaMQ在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2，它的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线x=±a，y=±b围成正2222xy-=1ab方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-65.离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为ca0,ca所以双曲线的离心率e=1.ca离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？例1：已知：F1，F2是双曲线的两个焦点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2=则双曲线的离心率为多少？30°解：由题设|F1F2|=2c，|PF2|=2c，|PF1|=，根据双曲线的定义|PF2|-|PF1|=2a，即所以，离心率等于3c(3-1)c=2ace==3+1a例2：点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.16x=554解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得|MF|5P=M|=,d422(x-5)+y5=.164|-x|5将上式两边平方，并简化，得9x2-16y2=144即所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8，6的双曲线（如图2.3-9）22xy-=11692.3-9xFOHyM本例与书上2.2的例6比较，你有什么发现？双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F,垂直于l1的直线分别交l1，l2于A,B两点.成等差数列,且与同向(Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.OAABOB、、BFFA例3：，，解：（1）设OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2得：,由倍角公式，解得,则离心率.14dmtanbAOFa4tantan23ABAOBAOFOA22431baba12ba52e（2）过F的直线方程为,与双曲线方程联立，将a=2b，代入，化简有将数值代入，有,解得，b=3最后求得双曲线方程为：2232528454155bb()ayxcb22221xyab5cb2215852104xxbb222121212411()4aaxxxxxxbb221369xy课堂小结1.范围：x≤-a，x≥aMOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.对称性：双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.3.顶点：双曲线和x轴的两个交点A1(-a,0)，A2(a,0)叫做双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.4.渐近线A1A2F1F2B1B2ObaMQ若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.0xyabA1A2F1F2OB1B2ba2.3-65.离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为ca0,ca所以双曲线的离心率e=1.ca实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别椭圆双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2aac0a2-c2=b2(b0)ca0c2-a2=b2(b0)12222xy+=ab12222yx+=ab（ab0）22221xyab22221yxab（a0,b0）高考链接(2008重庆文)如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)设d为点P到直线l：的距离,若,求的值2.PMPN12x22PMPNPMd12xM(-2,0)N(2,0)PxyO12xM(-2,0)N(2,0)PxyO解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，所以双曲线的方程为31322yx(II)设P（x,y），因|PN|≥1知|PM|=2|PN|2≥2|PN||PN|,故P在双曲线右支上，所以x≥1又双曲线方程有y2=3x2-3.因此，从而由|PM|=2|PN|2得2x+1=2(4x2-4x+1)，22222||(2)(2)33441.PNxyxxxx即8x2-10x+1=0.所以x=（舍去x=).有|PM|=2x+1=d=x-=故9174121178||9178117.4117PMd51785178(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0)，一条渐近线的方程是（Ⅰ）求双曲线C的方程.（Ⅱ）若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.520xy812（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为由题设得解得所以双曲线C的方程为22221(00)xyabab，2295.2abba，2245.ab，22145xy（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组,将①式代入②式，得整理,得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0，且△=(-8km)2+4(5-4k2)整理得m2+5-4k20③221.45ykxmxy，①②22()145xkxm由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为12024254xxkmxk225145454mkmyxkkk29054kmk，29054mk，002554mykxmk，．，．由题设可得整理得将上式代入③式得整理得解得或所以k的取值范围是2219981254542kmmkk222(54)kmk0k222(54)540kkk22(45)(45)0kkk0k502k54k5555004224∞，，，，∞一、选择题1.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则（）课堂练习2219yx120PFPF12PFPFA．B．C．D．10210525B2.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）221916xyA．B．C．D．221090xyx2210160xyx2210160xyx221090xyxA二、填空题1.已知双曲线（a0,b0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是________b2222:1xyCab2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点，且，则双曲线的离心率是____22221(00)xyabab，12PFPF124PFPFab3三、解答题.设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ(0λ1)，使得d1d2sin2θ=λ证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程.PABd1d2O点P的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长的双曲线．方程为：.解：在△PAB中,|AB|=2即22=d12+d22-2d1d2cos2θ，4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，即2a=21-λ22xy-=11-λλPABd1d2O21212|d-d|=4-4ddsinθ=21-λ2教材习题答案1（1）实轴长2a=，虚轴长2b=4；顶点坐标为(,0)，(,0)；焦点坐标为(6,0)，(-6,0)；离心率（2）实轴长2a=6，虚轴长2b=18；顶点坐标为(3,0)，(-3,0)；焦点坐标为(,0)，(,0)；离心率-3103108242423e=24e=10（3）实轴长2a=4，虚轴长2b=4；顶点坐标为(0，2)，(0，-2)；焦点坐标为(0，)，(0，)；离心率（4）实轴长2a=10，虚轴长2b=14；顶点坐标为(0，5)，(0，-5)；焦点坐标为(0，)，(0，)；离心率22-22e=274e=574-742.（1）（2）3.4.，渐近线方程为y=±x5.（1）（6，2），（，）（2）（，3）22xy-=116922xy-=1362822xy-=13522xy-=118181432-3254