考研数学 二次型(二)

全国高校报录比汇总全国高校报录比汇总将二次型转换成标准形的方法有很多，除了正交变换法之外，还有配方法。对于同一个二次型，采用不同的变换方法得到的标准形是不一样的。但是，不同的标准形中包含的正项个数与负项个数是相同的。我们将标准形中正项个数称为正惯性指数，负项个数称为负惯性指数。对于一个实二次型，不管通过怎样的坐标变换，将其化成标准形，它的正惯性指数与负惯性指数都是不变的，这就是惯性定理。一个二次型的标准形中正、负项的系数是多少并不重要，相比之下，我们更关注的是这些系数中正项与负项的个数。因此，对于一个二次型来说，我们关注的不是它的合同标准形是怎样的，而是关心它的正、负惯性指数是多少。既然如此，我们就在二次型的标准形的基础上，继续化简，得到一个只保留正、负惯性指数的形式，即二次型的规范型。将标准形中的正项系数全化为1，负项系数全化为-1，就可以得到二次型的规范型。若一个二次型通过合同变换变成一个规范型，就将其称为该二次型的合同规范型。由于，任何一个二次型都可以化成标准形，然后再根据惯性定理得到其合同规范型，所以任何一个二次型都可以化成合同规范型，并且合同规范型是可以唯一确定的。由此，我们可以得到两个二次型合同的充要条件：两个n元二次型合同的充要条件就是它们的正、负惯性指数相同。因为，每一个二次型都可以通过合同变换变成合同规范型，若两个二次型合同，他们的合同规范型是相同的，所以他们的正、负惯性指数是相同的。由于，正、负惯性指数其实是正、负特征值的个数，所以，以后我们在判断两个二次型是否合同时，只需判断这两个二次型的正、负特征值的个数是否相同就可以了。接下来，我们再介绍一种特殊的二次型——正定二次型。若对任意的非零向量X，都有，这样的二次型被称为正定二次型。从考试角度来讲，正定二次型在这一块的考点只有一个，就是正定二次型的判定。总的来说，二次型的判定方法有三种，每一种有其适用范围。第一种方法，顺序主子式法。若二次型矩阵的所有顺序主子式均大于零，则该二次型正定。所谓顺序主子式是指，二次型矩阵的前行，前列元素组成的阶行列式。当二次型矩阵中的元素能够写出来时，可以用顺序主子式法。第二种方法，特征值法。若二次型矩阵的所有特征值均大于零，则二次型正定。若所给的二次型是抽象的，并且题目与特征值或行列式相关时，可以采用特征值法。第三种方法，定义法。当所给的二次型是抽象的，并且第二种方法不能用时，就可以采用定义法。只要对任意的非零向量X，都有，则二次型正定。