数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲-辅助圆

1第21讲辅助圆知识纵横在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1、利用圆的定义添补辅助线；2、作三角形的外接圆；3、运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。（2）同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。（3）若四边形ABCD的对角线相交于P，且PDPBPCPA，则它的四个顶点共圆。（4）若四边形ABCD的一组对边AB、CD的延长线相交于P，且PDPCPBPA,则它的四个顶点共圆。例题求解【例1】如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,E是CB的中点，AE=EC。,6626,3BDDBCBAC则AB=。（鄂州市中考题）思路点拨ADACAB,,有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从而可推导BAC、DBC为特殊角。【例2】如图，若PA=PB，ACACBAPB,2与PB交于点D，且,3,4PDPB则DCAD().A.6B.7C.12D.16（“TI”杯全国初中数学竞赛题）思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。【例3】如图，在ABC中，ACAB，任意延长AC到P，再延长AB到Q，使BQAP，2求证：ABC的外心O与A、P、Q四点共圆。思路点拨先作出ABC的外心O，连接PQ、OQ，将问题转化为证明角相等。【例4】如图，,,BCCDBCAB垂足分别为B、C。（1）4AB1DC，4BC时，在线段BC上是否存在点P,使PDAP？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由；（2）设aAB,bDC,cAD，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使PDAP?（南京市中考题）思路点拨对于（2），点P在以AD为直径的O上，又点P在BC上，表明O与BC相交或相切。旋转与圆【例5】如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x轴、y轴的正3半轴上，点O在坐标原点。等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且4OA，2OE。将三角板OEF绕O点逆时针旋转至11FOE的位置，连接1CF、1AE。（1）求证：11OCFOAE;（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得CFOE//?若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。（潍坊市中考题）【例6】如图，P是O外一点，PA切O于A，PBC是O的割线，POAD于D。求证：CDPCBDPB.（四川省联赛题）分析因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定PBD与PCD相似证明。PCPBPOPDPA2，B、C、O、D共圆，这样连接OB，就得到多对相似三角形，以此达到证明的目的。4学力训练基础夯实1、如图，已知矩形)(BCABABCG和矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是个。（陕西省中考题）第1题第2题第3题2、如图，1O和2O的半径分别为1和2，连接21OO，交2O于点P，21OO=5.若将1O绕点P按顺时针方向旋转360,则1O和2O共相切次。（鄂尔多斯中考题）3、如图，已知OCOBOA，且BOCkAOB，则ACB是BAC的倍。4、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，30QON，公路PQ上A处距离O点240米。如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以73千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）。A.12秒B.16秒C.20秒D.24秒（2011年武汉市中考题）55、如图，矩形ABCD中，4AB，BC34,点E是折线段CDA上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点。在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）。A.2个B.3个C.4个D.5个（济南市中考题）6、如图，在O中，弦CDAB于E点，弦BCAG于F，连接EF，CD与AG相交于点M，则下列结论：①弧BD弧BG;②MEDE;③AFEACD;④BFAF。其中正确的结论的个数有（）。A.1个B.2个C.3个D.4个EMOFGBDAC7、如图，已知ABCRt中，5AB，12BC，90ACB,P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）。（1）当ACPQ//，且Q为BC的中点时，求线段PC的长；（2）当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长6的取值范围；若不可能，请说明理由。（广州市中考题）8、如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且ABTD，ACTE。求证：（1）AHEAHD；（2）CECHBDBH。（陕西省竞赛题）能力拓展9、如图，正方形ABCD的中心O，面积为19892cm，P为正方形内一点，且45OPB,,14:5:PBPA则PB的长为。（北京市竞赛题）10、如图，在ABC中，BCACAB,2边上有100个不同的点1P、2P、...100P，记)100...3,2,1(2iCPBPAPmiiii，则10021...mmm。711、如图，在四边形ABCD中，ADACAB，若25BAC，,75CAD则BDC；DBC。（第20届江苏省竞赛题）12、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，,60AOC点P在AB的延长线上，且.3cmBOPB连接PC交半圆于点D，过P作PAPH交AD的延长线于点H，则PHcm.（第19届江苏省竞赛题）13、如图，已知在凸五边形ABCDE中，,,3DECDBCBAE且.2180CDEBCD求证：.DPOCADBAC（全国初中数学联赛题）14、如图，P是O外一点，PA和PB是O的切线，A、B为切点，OP与AB交于点M，过M任作O的弦CD。求证：DPOCPO。8综合创新15、如图，AD、AH分别是)(ACABABC的角平分线、高线，M是AD的中点，MDH的外接圆与CM交于点E，证明：.90AEB（2011年四川省竞赛题）16、如图，在ABC中，,100ABC,65ACB分别在边AB、AC上取点D、E，使得,80,55EBCDCB试确定EDC的度数。（北京市竞赛题）