第二章Hermit插值法

数值分析第二章插值法Hermite插值,,,,,,,)(1010nnyyybxxxaxf处的函数值为在节点设值函数上的具有一阶导数的插的在区间为设],[)()(baxfxP处必须满足在节点显然nxxxxP,,,)(10)(],[)()1(一阶光滑度上具有一阶导数在若要求baxPiiiyxfxP)()(iiiyxfxP)()(ni,,1,0ni,,1,0--------(1)个待定的系数可以解出22n次的多项式可以是最高次数为因此12)(nxP次多项式作为插值函数两个节点就可以用311222n共个方程两点三次Hermite插值F例：设x0x1x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)和f’(x1),求多项式P(x)满足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估计误差。模仿Newton多项式的思想，设解：首先，P的阶数=3),())()(()()()(221033xxxxxxxKxPxfxR!4)()()4(xfxK))()(())(](,,[)](,[)()(210102100100xxxxxxAxxxxxxxfxxxxfxfxPA为待定系数，可由P’(x1)=f’(x1)确定))((],,[)(],[)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA与Lagrange分析完全类似应满足插值条件)(3xH003)(yxH113)(yxH003)(yxH113)(yxH求Hermite多项式的基本步骤：写出相应于条件的、的组合形式；ii)()()()()(110011003xyxyxyxyxH对每一个找出尽可能多的条件给出的根；ii,其中1)(00x0)(00x1)(00x0)(10x0)(01x1)(11x0)(10x0)(01x0)(11x0)(00x0)(10x0)(01x0)(11x0)(10x0)(01x1)(11x根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；)()()(210baxxxx根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；1)(00x0)(00x由可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb)()()(210baxxxx21)(xx310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx21021)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)())(21(201xlxl最后完整写出H(x)。)()()()()(110011003xyxyxyxyxH101121xxxxy2010xxxx00xxy2101xxxx2010xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx两点三次Hermite插值的误差为)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1,0i因此可设的二重零点均为,)(,310xRxx21203)())(()(xxxxxKxR待定其中)(xK21203)())(()()()(xtxtxKtHtft构造辅助函数0)())(()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii0)())(()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重根个零点至少有因此5)(t连续使用4次Rolle定理，可得，],[10xx至少存在一点使得0)()4(1,0i0)(!4)()()4()4(xKf即!4)()()4(fxK所以,两点三次Hermite插值的余项为2120)4(3)()(!4)()(xxxxfxR10xx以上分析都能成立吗？上述余项公式成立上存在且连续时在当,],[)(10)4(xxxf一般的，总认为次数越高，逼近f(x)的精度就越好，但实际上并非如此。§2.6分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/RememberwhatIhavesaid?IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsareoscillating.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取211)(xxf),...,0(105niinxi-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)f(x)分段低次插值-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大时，Ln(x)在[-5，5]上不收敛；-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的图象分段线性插值)(1xLy的一条折线实际上是连接点niyxkk,,1,0,),(也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果上连续在若],[)(baxf因此)(lim10xLh)(xf则分段线性插值/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式(直线)逼近f(x):],[1iixx11111)()(iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf],[for1iixxx记，易证：当时，||max1iixxh0h)()(1xfxPh一致失去了原函数的光滑性。分段Hermite插值/*Hermitepiecewisepolynomials*/给定nnnyyyyxx,...,;,...,;,...,000在上利用两点的y及y’构造3次Hermite函数],[1iixx导数一般不易得到。Howcanwemakeasmoothinterpolationwithoutaskingtoomuchfromf?Headache…