2014届高考数学一轮复习课件：第三章第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数(新人教A版)

第三章三角函数、解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数2014高考导航考纲展示备考指南1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.三角函数的定义及应用是本节考查的重点，注意三角函数值符号的确定.2.主要以选择题、填空题的形式考查.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为_______、______、______．②按终边位置不同分为________和________．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)或α＋k·2π(k∈Z)．正角负角零角象限角轴线角思考探究终边相同的角相等吗？提示：不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.(3)角度与弧度的换算①1°＝_____rad；②1rad＝(180π)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝_____＝_____．π18012lr12r2α3.任意角的三角函数(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα＝___，cosα＝___，tanα＝____(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在______上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是_____________________________．yxyxx轴原点单位圆与x轴正半轴的交点课前热身1.设角α终边上一点P(－4，3)，则sinα的值为()A.35B．－35C.45D．－45答案：A2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在()A．x轴上B．y轴上C．直线y＝x上D．直线y＝－x上解析：选A.|cosα|＝1，则角α的终边在x轴上．故选A.3.若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C5.1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形面积是________．答案：184.若4π＜α＜6π且α与－23π终边相同，则α＝________．答案：163π考点探究讲练互动例1考点突破考点1弧度制的应用(1)已知扇形的圆心角为60°，半径等于2，则扇形的面积为________；(2)已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．【解析】(1)∵60°＝π3弧度，设扇形弧长为l，则l＝αR＝2π3，∴S＝12lR＝2π3.(2)设扇形半径为r，弧长为l，则lr＝π612lr＝π3，解得l＝π3r＝2.【答案】(1)2π3(2)π3【名师点评】弧度制的应用：(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l＝r·α，扇形面积公式：S＝12lr＝12r2α.计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便．(2)应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示．跟踪训练1．一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)．①扇形的面积S＝12lr，将①代入，得S＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．例2考点2象限角及终边相同的角(1)已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋|cosθ|cosθ＋tanθ|tanθ|的值为()A．1B．－1C．3D．－3(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内所有与角α有相同终边的角β为________．【解析】(1)由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限．又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1，故选B.【答案】(1)B(2)－675°，－315°【规律小结】(1)研究角终边关系问题时可借助于图形分析,注意周期性．(2)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．(2)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：二、四跟踪训练2．如果点(sinθ，tanθ)在第三象限，则θ2的终边在第________象限．解析：由已知θ为第四象限角，∴－π2＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z)，∴－π4＋kπ＜θ2＜kπ(k∈Z)，∴当k取奇数时，θ2的终边在第二象限；当k取偶数时，θ2的终边在第四象限．考点3三角函数的定义已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．例3【解】由题设知x＝－3，y＝m，∴r2＝OP2＝(－3)2＋m2，得r＝3＋m2，从而sinα＝mr＝2m4＝m3＋m2，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153.【名师点评】定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．跟踪训练3．已知角α的终边落在直线y＝x上，且α为第三象限角，则sinα＋cosα的值为()A．0B．22C.2D．－2解析：选D.由题意，不妨取α终边上一点为(－1，－1)，则sinα＝－22，cosα＝－22，∴sinα＋cosα＝－2.1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．3．(1)三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒．(2)三角函数曲线即三角函数的图象，与三角函数线是不同的概念，不要混淆．方法感悟名师讲坛精彩呈现例求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域．数学思想数形结合思想在求三角函数定义域中的应用【解】∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，∴－32＜sinx＜32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．【感悟提高】本题运用了数形结合思想，利用三角函数线确定角的范围，解决此类问题应注意角所对区域的边界．当然解决此类问题，还可利用三角函数图象求解．在运用数型结合思想时，应遵循简单性原则．跟踪训练4．函数y＝sinx＋12－cosx的定义域是________．解析：由题意知sinx≥0，12－cosx≥0，即sinx≥0，cosx≤12.∴x的取值范围为π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.答案：π3＋2kπ，π＋2kπ(k∈Z)5.函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域是________．解析：要使函数有意义，则2＋log12x≥0，x＞0，tanx≥0，x≠kπ＋π2k∈Z，即0＜x≤4，kπ≤x＜kπ＋π2k∈Z.利用数轴可得：所以函数的定义域是{x|0＜x＜π2或π≤x≤4}．答案：{x|0＜x＜π2或π≤x≤4}知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放