典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.4．(2014·辽宁，23，10分，中)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1，由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1.即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝cost，y＝2sint(t为参数)．(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12.化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.(2)(2015·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．①写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；②设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解析】(1)将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2(ρcosθ)2＝ρsinθ，化为直角坐标方程为2x2＝y，①C2：ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1，②联立①②可解得x＝1，y＝2，所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2)．(2)①∵ρcosθ－π3＝1，∴ρcosθ·cosπ3＋ρsinθ·sinπ3＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴12x＋32y＝1，即曲线C的直角坐标方程为x＋3y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝233.∴M(2，0)，N0，233.∴M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为233，π2.②M，N连线的中点P的直角坐标为1，33，P的极角为θ＝π6.∴直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．(2013·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．【解析】(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.联立C1，C2的方程x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．(2012·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2知圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2的交点坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t(－3≤t≤3)．或参数方程写成x＝1，y＝y，－3≤y≤3方法二：将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ－π3≤θ≤π3.5．(2015·河北邯郸二模，23，10分)已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝12＋32t，y＝12＋12t(t为参数)，点A的极坐标为22，π4，设直线l与圆C交于点P，Q.(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)求|AP|·|AQ|的值．解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ，将其转化成直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.(2)由点A的极坐标22，π4得直角坐标为A12，12.将直线l的参数方程x＝12＋32t，y＝12＋12t(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋y2＝1，得t2－3－12t－12＝0.设t1，t2为方程t2－3－12t－12＝0的两个根，则t1t2＝－12，所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝12.2．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα，(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.3．(2015·陕西，23，10分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)．5．(2014·课标Ⅱ，23，10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32.7．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P，Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0α2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．(2014·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C：x24＋y29＝1.直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【思路导引】(1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA|用参数θ来表示，从而求其最值．【解析】(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.(2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．【解析】(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解x2＋（y－2）2＝4，x＋y－4＝0得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝b2(x－a)＋1＝b2x－ab2＋1，所以