2015上海三校生数学真题(含详解)

2015年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，作图可以使用铅笔，在草稿纸和试卷上答题一律无效.3.答题前，考试务必用签字笔、钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.4.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.已知指数函数()10xfx，若()(4)faf，则（）A.4aB.4aC.4aD.4a【考查内容】指数函数的单调性【答案】B【解析】()10xfx在定义域内单调递增，()(4)faf，则4a.2.图①、②、③是图1所示几何体的三个视图，则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为（）①②③图115SH115SH215SH315SH4A.①③②B.①②③C.③①②D.③②①【考查内容】简单几何体的三视图【答案】D【解析】该几何体的主视图为③，俯视图为②，左视图为①.3.不等式213x的解集为（）A.(,2][1,)∞∞B.(,1][2,)∞∞C.(,2)∞D.(2,1)【考查内容】绝对值不等式【答案】A【解析】213213213xxx或12xx或.4.某中职校在职业体验开放日活动中，要从4名男生和5名女生中任选两名担任讲解员，假设每名学生被选中的可能性相同，则正好选出一名男生和一名女生的概率为（）A.29B.518C.59D.14【考查内容】等可能事件的概率【答案】C【解析】所求概率114529CC59CP.5.“1,1ab”是“方程221axby表示的曲线为双曲线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考查内容】双曲线的标准方程，充分、必要条件【答案】A【解析】1,1ab方程221axby表示的曲线是双曲线；方程221axby表示的曲线是双曲线0ab/1,1ab.是充分非必要条件.6.如图2所示，在三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形的面积y（平方米）与其一条边长x（米）之间的函数关系是（）图215SH5A.240(040)yxxxB.220(040)yxxxC.240(040)yxxxD.220(040)yxxx【考查内容】二次函数的实际应用【答案】C【解析】如图，∵BCDE,∴ABC△∽ADE△，∴BCAFDEAG，∴BCAFx，∴40FGx，2(40)40(040)yxxxxx.15SH6二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】7.已知全集为1,2,3,4,5，则集合2,4在全集中的补集为.【考查内容】集合的补集【答案】1,3,58.函数12()fxx的定义域为.【考查内容】函数的定义域【答案】[0,)∞【解析】12()fxxx，其中0x.9.下表为甲、乙两个家庭两个月的消费情况，则甲、乙两个家庭这两个月各自消费金额的月平均值用列矩阵表示为.三月消费金额（元）四月消费金额（元）甲30882940乙42104300【考查内容】矩阵【答案】30144255【解析】甲家庭这两个月的消费金额的月平均值是3088294030142，乙家庭这两个月的消费金额的月平均值是4210430042552，用列矩阵表示为30144255.10.某市出租车运价y（元）与行驶里程x（千米）的关系如图3所示，若输入的x为8，则输出的y为.图315SH7【考查内容】程序框图【答案】26【解析】该程序框图表示的函数为14,032.46.8,3103.65.2,10xyxxxx，8x时，2.486.826y.11.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(1,2)P,则sin.【考查内容】任意角的三角函数【答案】255【解析】由任意角的三角函数的定义得22225sin5(1)2.12.若函数()fx为定义在R上的偶函数，且(2015)(2015)4ff，则(2015)f.【考查内容】偶函数的性质【答案】2【解析】由偶函数的性质得(2015)(2015)ff，∴(2015)(2015)2(2015)4fff，得(2015)2f.13.若复数2(2)(2)izaa（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a.【考查内容】纯虚数的概念【答案】2【解析】由纯虚数的概念可得22020aa，解得2a.14.已知抛物线C:24yx，若C上的点M到y轴的距离为3，则点M到C的焦点F的距离为.【考查内容】抛物线的定义【答案】4【解析】抛物线的准线方程是12px，∴点M到准线的距离为4，由抛物线的定义可知点M到C的焦点F的距离为4.15.如图4所示，以沪D·Z打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个，则以沪D·Z打头的新能源车牌号码最多可有个.(结果用数值表示)图415SH8【考查内容】分步计数原理【答案】10000【解析】由分步计数原理可知号码最多有1010101010000个.16.已知3cos5，(0,)，则sin()3.【考查内容】同角三角比的关系，加法定理【答案】43310【解析】∵(0,)，∴24sin1cos5，4133433sin()sincoscossin()333525210.17.已知实数x、y满足约束条件1,1,22.xyxyxy若目标函数zaxy仅在点（1,0）处取得最小值，则实数a的取值范围是.【考查内容】线性规划【答案】(2,1)【解析】如图所示：(1)当0a时，显然成立；(2)当0a时，需满足1a，此时01a；(3)当0a时，需满足2a，此时20a.综上所述，实数a的取值范围是(2,1).15SH918.设数列(*)nanN是等比数列，公比q为整数，若数列na的连续四项是集合{24,6,3,6,12}中的四个元素，则q.【考查内容】等比数列【答案】2【解析】观察该集合中的五个元素，有两个负数三个正数，等比数列的连续四项中第1项和第3项、第2项和第4项符号相同，∴24和6是该等比数列连续四项中的两项，由等比中项的性质可知12为24和6的等比中项，另一项为3.由于公比q为整数，故为2.三、解答题(本大题共6题，满分52分)【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】19.(本题满分7分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为4分.图5的正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为3，高为1，O为下底面的中心.求：（1）异面直线AB与1CD所成角的大小；（2）正四棱锥OABCD的体积.图515SH10【考查内容】异面直线所成的角，棱锥的体积【解】(1)∵ABCD，∴1DCD为异面直线AB和1CD所成的角，在△1DCD中，1113tan33DDDCDDC,130DCD,即异面直线AB和1CD所成的角为30.(2)111331133ABCDVSAA.20.(本题满分7分)第（1）小题满分为2分，第（2）小题满分为5分.如图6，在直角坐标平面内，等腰梯形ABCD的下底BC在x轴上，BC的中点是坐标原点O,已知1,2ADABDCBC.（1）写出与向量OD相等的一个向量，其起点与终点是A、B、C、D、O五个点中的两个点；（2）设向量aOCOD，求出向量a的坐标，并在答题纸上的图6中画出向量a的负向量，要求所画向量的起点与终点是A、B、C、D、O五个点中的两个点.图615SH11【考查内容】平面向量的线性运算【解】(1)易知ABBO且ABBO，∴四边形ABOD为平行四边形.∴ABOD且ABOD.∴ODBA.(2)如图所示，作平行四边形OCED,则ODCE,∴aOCODOCCEOE,易知OEBD且OEBD，∴aDB.15SH1221.(本题满分8分)每小题满分各为4分.已知函数()2sin()()4fxxxR.（1）写出函数()fx的最小正周期T和最大值M,并求出当函数()fx取最大值时与之对应的x的一个值；（2）△ABC的三个内角分别为A、B、C，已知()34fA,7BC,21sin7B,求AC的长.【考查内容】正弦型函数的图像和性质【解】(1)221T,max()2fx，取最大值时242xk，kZ.即24xk，kZ.（符合24xk，kZ的任意的一个x的值均得分）（2）()2sin34fAA,∴3sin2A,在△ABC中，由正弦定理可得sinsinACBCBA,得2AC.22.(本题满分10分)每小题满分各为5分.某地政府支持当地老公房加装电梯，补贴其建设总费用的50%，另外50%由住户分摊.住户按如下步骤分摊费用：（一）先按楼层分摊，底层住户不出钱，从第二层起，每层都比下面一层增加费用k；（二）每层分摊到的费用再按户平均分摊.现计划为某小区1号六层老公房加装电梯，建设总费用为48万元.(本题涉及的费用均以万元为单位)（1）设第n层住户分摊到的费用为(*,6)nannN，10a，求k；（2）该号每层有8户，设第n层的每一户分摊到的费用为(*,6)nbnnN，求4b以及数列nb的通项公式.【考查内容】等差数列的实际应用【解】(1)由题意可得每一层建设费用成等差数列，第一层费用为0，···，第六层费用为5k，则056482k，165k.(2)由题意可得第n层住户分摊的的费用na是以首项10a，公差为825k的等差数列.则188(1)(1)55naann.则1(1)85nnabn，435b.23.(本题满分10分)每小题满分各为5分.已知函数2()logfxx.（1）在答题纸相应位置的坐标系中画出函数()yfx的大致图像，并写出实数m的取值范围，使得[,3]xm时，()0fx；（2）设0ab，如果fafb，问a与b的乘积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【考查内容】对数函数的图像和性质【解】(1)()yfx的大致图像如图所示：15SH13由图可知，m的取值范围是[1,3).(2)由函数2()logfxx在定义域内单调递增，可知01ab.由fafb可得22loglogab，222logloglog0abab，得1ab.∴a与b的乘积为定值1.24.(本题满分10分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为7分.圆锥曲线C的方程为2221xya（0a）.（1）若曲线C是圆，且直线2(0)ykxk与该圆相切，求实数k；（2）设1a，曲线C的一个焦点为(,0)(0)Fcc，它与y轴正半轴的交点为B,过点B且垂直于BF的直线l与x轴相交于点3(,0)3D,与曲线C的另一个交点为E,求a以及线段BE的长.【考查内容】直线与圆的位置关系，直线与椭圆相交的综合问题【解】(1)曲线C是圆时，1a.圆C的方程为221xy.由直线与圆相切可得圆心（0,0）到该直线的距