三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

1三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0ZkkZkk或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于x轴对称的角的集合：；与角终边关于y轴对称的角的集合：；与角终边关于xy轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于o90的角”=；（5）由的终边所在的象限，通过来判断2所在的象限，通过来判断3所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值rl||，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；xyOxyO2二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP，点P到原点的距离记为r，则sin；cos；tan；如：角的终边上一点)3,(aa，则sin2cos。注意r0（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(x，xsin，xtan，x的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：0643223sincostan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式：诱导公式可用概括为：2K±,-,2±,±,23±的三角函数：奇变偶不变，符号看象限的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将xyOaxyOaxyOayOa平方关系sin2+cos2=1，1+tan2=2cos1倒数关系tan·cot=1商数关系cossin=tan3任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。步骤：③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤：①确定角所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1；③根据角所在的象限，得出2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1；如果在第三或第四象限，则它是1或12；④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如mtan，则sin，cos；)23sin(；注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函数图像和性质1．周期函数定义定义：对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()()fxTfx都成立，那么就把函数()fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．请你判断下列函数的周期xysin，xycos，|cos|xy，||cosxy，|sin|xyy=tanx，y=tan|x|，y=|tanx|，||sinxy任意负角的三角函数任意正角的三角函数0o~360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o~90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九4例求函数f(x)=3sin)35(xk()0k的周期，并求最小的正整数k,使它周期不大于12．图像53、图像的平移对函数y＝Asin(ωx＋)＋k(A．＞．0,．．ω＞．．0,．．．≠．0,．．k．≠．0)．．,其图象的基本变换有：(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移四、三角函数公式：升幂公式1+cos=2cos221-cos=2sin221±sin=(2cos2sin)21=sin2+cos2sin=2cos2sin2降幂公式sin222cos1cos222cos1sin2+cos2=1sin·cos=2sin21五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；3是23的二倍；3是6的二倍；22是4的二倍。②2304560304515oooooo；问：12sin；12cos；两角和与差的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin22tan1tan22tan6③)(；④)4(24；⑤)4()4()()(2；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottantanseccossin12222（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式cos1常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：_______________tan1tan1；______________tan1tan1；____________tantan；___________tantan1；____________tantan；___________tantan1；tan2；2tan1；oooo40tan20tan340tan20tan；cossin=；cossinba=；（其中tan；解三角形单元复习与巩固知识点一：解斜三角形的主要依据设的三边分别为a、b、c，对应的三个内角分别为A、B、C。（1）角与角的关系：①内角和：，②互补关系：7③互余关系：（2）边与边的关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b。（3）边与角关系：①大角对大边，大边对大角；等边对等角，等角对等边即；②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。即（其中R表示三角形的外接圆半径）变式：;sinA=a/2R;sinA/sinB=a/b;a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC③余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即；…….变式：。……..知识点二：△ABC的面积公式（1）（其中表示a边上的高）（2）（R为三角形的外接圆半径）规律方法指导1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；②三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；3．三角形的形状的判定（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。（2）余弦定理用于判定三角形的形状的依据①在中，；8②在中，；③在中，注意：一般只需判断最大角的余弦值的符号。（3）已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由180CAB，求出C，再由sinsinacAC求出c，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解ab无解无解一解absinabA两解无解无解sinabA一解sinabA无解基本题型与策略：基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．例1计算：tan2010°＝___________．例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．例3设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则a，b，c的大小关系是____________例4(1)函数f(x)＝sin(πx－π3)－1的最小正周期为___________；(2)若函数f(x)＝cos(x－π6)(＞0)的最小正周期为π5，则＝___________9例5函数f(x)＝sin(2x－π3)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________；高考链接：5.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，3sin5，则sin2（）（A）2524（B）2512（C）2512（D）2524【答案】B3.【2012高考山东文8】函数2sin(09)63xyx的最大值与最小值之和为（）(A)23(B)0(C)－1(D)13【答案】A16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4)的图像的一条对称轴是（）A.x=4B.x=2C.x=-4D.x=-2【答案】C．17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sinx（其中0）的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点（34，0），则的最小值是（）（A）13（B）1C）53（D）2【答案】D12.【2012高考江西文9】已知2()sin()4fxx若a=f（lg5），1(lg)5bf则（）A.a+b=0B.a-