您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 经营企划 > 04有限差分法.ppt
第三章有限差分法一、一般原理1.基本思想将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域,将偏微分方程的导数项用差商代替,推出含有网格离散点上有限个未知数的代数方程组。求解方程组得近似解。2.特点★发展较早,比较成熟;★多用于求解双曲型和抛物型问题;★对于边界条件复杂的椭圆型问题不如有限元法方便。例:驱动腔内的流体流动。3.网格划分jijijiuyxujiyxjlyihxlyhx,,,,-----称为步长。4.差分格式...!3121...!31213,332,22,,,13,332,22,,,1hxuhxuhxuuuhxuhxuhxuuujijijijijijijijijiji将u在(i,j)附近展成Taylor级数hOuuhxuhOuuhxujijijijijiji,1,,,,1,11即用差商代替微商----前差分式----后差分式。时即当表示具有一阶精度,0,0hOhhOjijijijijijiuuhxuuuhxu,1,,,,1,11两Taylor展式相减2,1,1,21hOuuhxujijijijijijiuuhxu,1,1,21用差商代替微商-----中心差分式表示具有二阶精度。2hO两Taylor展式相加二阶差分式若微分方程有时间偏导项,则Ouututnttnjinjinji,1,,1jijijijijijijijiuuuhxuhOuuuhxu,1,,12,222,1,,12,222121[例2]建立Burgers方程的有限差分方程。若采用中心差分式,则22xuaxuutuninininininininininininininininiuuuhauuhuuuuuuhauuhuuu11211111211122221----显式差分格式或若采用后差分式,则----隐式差分格式。二、差分格式的相容性、收敛性和稳定性ninininininininiuuuhauuhuuu1121112211.相容性当步长0,h时,截断误差在任一网格上均趋于零。这样的差分方程和微分方程称为相容的。此时差分方程趋近于微分方程。2.收敛性当步长0,h时差分方程的解趋近于微分方程的解,称为收敛性。njnjnjnjnjuueuuˆˆ---微分方程的精确解。---差分方程的精确解。---离散误差。,则收敛。时,当00,njeh3.Lax等价性定理对于一个适定的线性初值问题及一个与它相容的差分格式,其收敛性的充要条件是此差分格式的稳定性。4.稳定性差分方程的数值解与其精确解一般不相等,存在由于实测或推算的初、边值误差及计算过程中舍入误差。随着计算次数的增加,若这些误差的传播逐渐减小或只控制在一个有限的范围内,则此差分格式是稳定的,否则是不稳定的。例如:对流方程1)若空间取中心差分式时则是不稳定的。0xuatu021111njnjnjnjuuhauu2)若空间取前差分式时0111njnjnjnjuuhauu则是有条件稳定的。其稳定条件是3)若空间取后差分式时0111njnjnjnjuuhauu则是有条件稳定的。其稳定条件(推导过程)是aha且0aha且0三、椭圆型方程的差分解法yxfuyuxuu,0222222例如:Laplace方程,Poisson方程等。边界节点内部节点1..五点格式精度yxfluuuhuuujijijijijiji,2221,,1,2,1,,1yxfu,222,lhORji例:(在D内)(在Γ上)的离散。取边界条件取网格221lg,31yxyxyx1,0,1lg,02222222yxyxDyxyxuyuxuu解出5476328143214110141111410114uuuu169821.1798500.0059993.1634804.04321uuuu2.不规则边界的处理yxyxu,,1uuP若P点不恰好在Γ上,则处理方法有:1)直接转移法(1)第一类边界条件即在边界Γ上给定2)线性插值法令1212212211PPPPPPPPPllluluuluuluu(2)第二类边界条件即在边界Γ上给定函数的导数。yxqnu,lPTlTRlST123过P点作边界Γ的外法线交边界于Q点,交内部网线于T点。设则线性插值132)(2323auuuSRT近似认为PQnunu(a)(b)两式联立)(,1byxqluunuQTPPQSRPyxlquuu,12323(3)第三类边界条件即在边界Γ上给定即可。的代替第二类边界条件中用QQQqfbuanufbuanuyxfbunua11,3.方程组的求解(1)Jacobi迭代jimjimjimjimjimjifhuuuuuhyx,21,1,,1,11,41设五点格式(2)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代jimjimjimjimjimjifhuuuuu,21,1,1,11,11,41(3)超松弛迭代(4)时间相关法2144,,21,1,1,11,1,1,<<ufhuuuuuumjijimjimjimjimjimjimji最佳松弛因子由Jacobi法jimjimjimjimjimjimjimjimjifhuuuhuuuhuu,21,,1,2,1,,12,1,224jimjimjimjimjimjimjimjimjifhuuuuuuuu,21,,1,,1,,1,1,4241241令42ht则问题变为下列二维抛物型混合问题yxfyuxutu,2222四、抛物型方程的差分解法xFxuxutu0,0221.一维初值问题xt,00(1)四点显式022111xuuutuunjnjnjnjnj精度:稳定条件:(2)四点隐式2122xtxtORnj无条件稳定2xtORnj022111111xuuutuunjnjnjnjnj(3)克兰克-尼克尔森格式(Crank-Nicolson)02122112111111xuuuxuuutuunjnjnjnjnjnjnjnj无条件稳定2xtORnj2.一维混合问题对于[a,b]区间的内点,可以构造以上各种格式。如四点显式ttbuttauxFxuxutu,,0,0220,0,0tbx022111xuuutuunjnjnjnjnj若第一类边界条件,则若第二类边界条件bxJjaxjJxuunJnJnn100等分,进行将ttbutxuax,则在x=a处取右差商nJnJnnnuxuu0013.一维对流扩散方程22xuxuutu1)将对流项系数改为常数α。则FTCS显格式(1)线性化方法21111122xuuuxuutuunjnjnjnjnjnjnj212,2xRSCxtSxtC则稳定性条件设粘性系数波数网格雷诺数数RCourantC2)常用线性化方法在求解过程中,对每一个时间步长将系数u以已知值代入。即用t时刻有已求解得到的u值作为t+Δt时刻的u值计算。(2)预测校正法njnjnjnjnjnjnjnjuuuxtuuuxtuu1121121)预测步(PrediclorStop)2)校正步(CorrectorStop)1:211uxtuuunjnjnj稳定条件代入项用其中111112111111221njnjnjnjnjnjnjnjnjuuuxtuuuxtuuu4.二维扩散方程2222yuxuatu1anmjutnymxjPhyxt,,,节点令引入记号nmjnmjnmjnmjynmjnmjnmjnmjxuuuuuuuu1,,1,,2,1,,1,222(1)Crank-Nicolson格式的推广nmjynmjxnmjynmjxnmjnmjuuuuhauu,2,21,21,22,1,2无条件稳定(2)ADI格式无条件稳定精度221,221,2221,1,,221,22,21,22hORuuhauuuuhauunjnmjynmjxnmjnmjnmjynmjxnmjnmj五、双曲型方程的差分解法xFxuxutu0,01.常系数方程的初值问题解析解特征线0,txtxtxFFutxu0,,(1)迎风格式显式(α>0):iininininixFuxuutuu0110显式(α<0):iininininixFuxuutuu0110有条件稳定隐式:iininininixFuxuutuu011110无条件稳定(2)菱形格式01111xuutuunininini稳定条件:1xt(3)Lax格式1221211111xtuuuuuxtuunjnjnjnjnjnjnj-----稳定条件(4)Lax-Wendroff格式122121122111xtuuuxtuuxtuunjnjnjnjnjnjnj-----稳定条件2.常系数方程组一维水击问题002xhgtuxugcth(1)L-W显格式njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuuxtchhxtguuhhhxtcuuxtgchh112211111221121222222
本文标题:04有限差分法.ppt
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5109133 .html