差分方程基本知识.ppt

差分方程一、差分方程的基本概念二、一阶常系数线性差分方程三、差分方程的简单应用)()1(1tftfyyyttt1.差分的定义定义1设函数(),0,1,2,,,.tyfttn我们称为函数的一阶差分；ty一、差分方程的基本概念称2()ttyy1ttyy211()()ttttyyyy212tttyyy为函数ty的二阶差分.为三阶差分.同样，称32()ttyy)(1tntnyy依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．.)1(0niintiintnyCyCba,,ttzy,1()0;C2()();ttCyCy3()()();ttttaybzaybz114();ttttttttttyzzyyzyzzy11115.ttttttttttttttyzyyzzyyzzzzzz性质1当是常数，是函数时，有以下结论成立：例1求22(1)tt21,t2()tyt222()()tyt()ty(21)t2(1)1(21)tt2,32()()ttyy(2)220.22232(),(),().ttt2,tyt则解设(01),ttyaa).(ty例2设求解1()tttyaa(1).taa定义2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.例如1(,,,,)0,tttnFxyyy(,,,,)0.ntttGxyyy差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为则原方程还可化为例如，可以化为2123ttttyyy21223.ttttyyy2111()()ttttttyyyyyy2,ty23.tty又如：,3212ttttyyy可化为,32221ttttyyy.322tttyy定义3如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中A为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的解.122ttytAyy例：是差分方程的解，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件.满足初始条件的解称之为特解.如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.1212ttytyy例如，是差分方程的特解，122ttytAyy是差分方程的通解，其中A为任意常数.1111()tntnntntyayayayfx12,,,naaa()0ft()0ft11110.tntnntntyayayay3.常系数线性差分方程及解的性质的差分方程称为n阶常系数线性差分方程，其中为常数，且为已知函数.时，差分方程(1)称为齐次的，对应的齐次差分方程为(2)定义4形如(1)当否则称为非齐次的.当时，与差分方程(1)0,()naft12,,,kCCC定理1设的k个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中是n阶常系数齐次线性差分方程为任意常数.1122()()()()kkytCytCytCyt11110(2)tntnntntyayayay12(),(),,()kytytyt的n个线性无关的解，则方程的通解为nCCC,,,21其中为任意常数．定理2n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解．若12(),(),,()nytytyt1122()()(),nnYCytCytCyt是方程11110tntnntntyayayay定理3n阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个特解之和，1111()tntnntntyayayayft它对应的齐次方程11110tntnntntyayayay即通解等于1122*()()(),()nnYCytCytCytyt其中*()yt是它自己本身的一个特解.以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识．在本书中．我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．1()ttyayft，0a()ft()0ft10ttyay(0)a()0,ft(3)为常数，为已知函数.时，称方程(4)则(3)称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中当为一阶常系数齐次线性差分方程.若差分方程.二、一阶常系数线性差分方程10(4)ttyay(1)迭代法求解：一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法.1.常系数齐次线性差分方程的通解0y设已知，则1nnyay2()naay　22nay11nay0,nay0(0,1,2,).ttyayt10(4)ttyay(2)特征方程法求解：设(0)tY(4)(4)是方程的解，代入，得化简得：即10(0)tta，0,a.a分别称为方程和是方程(4)的解.ttya再由解的结构及通解的定义知：的特征方程和特征根.10(4)ttyay(ttyCaC是齐次方程的通解.为任意常数)10ttaa故120ttyy210,1.2例4求的通解.从而特征根为于是原方程的通解为其中C为任意常数.解特征方程为,)21(ttCy1()ttyayft的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程(c为任意常数),()()ftc一则差分方程为1(5)ttyayc，1)采用迭代法求解：有迭代公式0y，给定初值1ttacyy2tcaayc221tyaca321tayacac3321tacaay0211.ttacaaya00,1,1,1.1tttyctayayacaa2)一般法求解：设差分方程).11;01(*sasaktyst时取时取的特解.;1*ackycakkt即.)1(ckcakttk即1(5)ttyayc*(5),tyk令代入方程得：1a具有形如(1)当时，1a*(5),tykt令代入方程得：(2)当时，例5求差分方程的通解.231ttyy解对应齐次差分方程的通解为由于,13a故可设其特解为：,*kyt代入方程，解得：,1k故原差分方程通解为：.13*tttAyYy3,tYA)6(1tttcbayy设差分方程(6)具有形如).1;0(*sabsabbktytst时取时取的特解。得代入方程时，令当,)6(,)1(*ttkbyab,)(1cabkcbakbkbttt即于是*.ttcybba(()(1))tftcbcb二、为常数，则方程为得：代入方程时，令当,)6()2(*ttktbyabtttcbaktbbtk1)1(,)1(caktbtk即解得.ack于是.1*tttctbtbacy的通解分别为：时，方程和当)6(abab.1tttAactbytttAababcy和例6求差分方程的通解。tttyy25211解对应齐次差分方程的通解为.21tAY由于,,25,21baba故可设其特解为：.*ttkby代入方程，解得：,21abck故原差分方程通解为：.252121*ttttAyYy设差分方程(7)具有形如)(10*nnsttBtBBty的特解.).11;01(sasa时取时取将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数.,,10nBBB确定系数)())((ncftct三为常数，则差分方程为1(7)nttyayct例7求差分方程的通解。2132tyytt解对应齐次差分方程的通解为.2tAY由于,12a故可设其特解为2*DtCtByt代入方程，得,3222)1()1(222tDtCtBtDtCB比较系数：02BDCB022CDC32DD原差分方程通解为.36922*ttAyYyttt解得.3,6,9DCB故方程特解为.3692*ttyt)8()(1tmtttPayy设差分方程具有形如的特解.综上所述，有如下结论：若()()tmftPt()mPtm其中为常数为次多项式，则方程为*(),(())tnntyQtQtn为次多项式当时，(*)式左端为次多项式，要使(*)式成立，则要求a1n.1mnt约去得：*(8),ty将代入方程得：1(1)()(),tttnnmQtaQtPt(1)()(),(*)nnmQtaQtPt01()(0),nnnnQtaatata假设(1)(),nnnQtQta则和的最高次项系数均为故可设差分方程（8）具有形如tmsttQty)(*的特解.前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：当时，取否则，取a,1s.0s.1,0)1(m.0)2(m.1)3(tSttSr,)1(1ttttSrrSSS,,2,1,0ttS,)1(0SrStt,,2,1,0t0S例8（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下关系式：这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.为存款其通解为设r三、差分方程在经济问题中的简单应用2a,12r1.12224raray例9（贷款模型）设每个月应付x元(贷款额为元）,月利率是第一个月应付利息为可入住,另一半由银行以年利r贷款,均每月付多少元？共付利息多少元？n年付清，问平设某房屋总价为a元,先付一半解21()212aryxy1(1),1212ttrrxyy(1)0,12r1.12r第二个月应付利息为于是依此类推可得这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，所以特征根为，其对应的齐次线性差分方程的特征方程为1(1),1212rrxy.)121(ttrCY,*Ayt,12)121(rxArA,Ax.*xyt其对应的齐次线性差分方程的通解为由于1不是特征方程的根，代入原方程，得即于是故原方程的通解为.)121(xrCytt于是令特解242121raary,12124rxarCxrrxraytt)121(121122当时，得所以原方程满足初始条件的特解为.)121()121(12211xrxrrattnyyyyI123212121[1(1)(1)(1)]121212nrrrx于是n年利息之和为2121[1(1)(1)(1)]12212121212narrrrnx.121)121(122)121(21212xrrnxarann212anx,121)121()121(21212xrrIraInn,1)121(12)121(21212nnrrrax1)121(12)121(21212nnrrrax21)121(12)121(2121212arrranInn由于上式中也是总利息，所以有从而得因此，平均每月付元，共付利息元.该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年例10（筹措教育经费模型