概率论第3章习题解答-袁德美

69概率教材第三章勘误概率教材第三章勘误概率教材第三章勘误概率教材第三章勘误说明：红线为要纠正的部分.（一）70页习题3.2答案：1ab+=且0,0ab≥≥.（二）76页例3.6(2)()(),ddxyPXYfxyxy=∫∫10041dddd42Gxxyxyxxyy===∫∫∫∫.（三）77页例3.7()||1000PXY≤-()||1000,ddxyfxyxy-≤=∫∫61dd610Hxy=×∫∫400010006200030001dd610xxy+=×∫∫1.3=（四）79页习题3.13（2）答案应为0.3.（五）84习题3.18单位:千小时.第第第第3333章章章章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布习题习题习题习题3333....11113333....1111比较二维随机变量与一维随机变量的分布函数的性质有何异同？3333....2222设1(,)Fxy和2(,)Fxy都是联合分布函数，试问常数a，b满足什么条件时，12(,)(,)aFxybFxy+也是联合分布函数？解：因为1(,)Fxy和2(,)Fxy都是联合分布函数，有1(,)1F∞∞=，2(,)1F∞∞=.若12(,)(,)aFxybFxy+也是联合分布函数，则12(,)(,)1aFbF∞∞+∞∞=，即1ab+=.又因为联合分布函数12(,)(,)aFxybFxy+满足单调性,所以0,0ab≥≥.可以验证,当0,0ab≥≥且1ab+=时,12(,)(,)aFxybFxy+是联合分布函数.3333....3333设二维随机变量1+,0,0,(,)~(,)0,xyxyxyeeexyXYFxy-------≥≥=其它.求：（1）()0.5,0.3PXY≤≤；（2）()0.5,0.31.3PXY≤≤；（3）()10,12PXY-≤≤.70解:(1)()0.50.30.950.5,0.3(0.5,0.3)1PXYFeee---≤≤==--+;（2）()()()0.5,0.31.30.5,1.30.5,0.3PXYPXYPXY≤≤=≤≤-≤≤(0.5,1.3)(0.5,0.3)FF=-0.32.451.30.95eeee----=+--;（3）()10,12(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)PXYFFFF-≤≤=+----00000=+--=.*3333....4444设()10,00,0.1,01,01,,0.5,01,11,01,1,xyxyFxyxyxy≤≤=≤≥≥≤其它或或和()20,00,0.2,01,01,,0.5,01,11,01,1,xyxyFxyxyxy≤≤=≤≥≥≤其它或或是两个不同的分布函数，验证它们关于X和关于Y的边缘分布函数相同.解:当0x时,()1,0Fxy=,有1(,)0Fx∞=.当01x≤时,()10,0,,0.1,01,0.5,1.yFxyyy=≤≥有1(,)0.5Fx∞=.当1x≥时,()10,0,,0.5,01,1,1.yFxyyy=≤≥有1(,)1Fx∞=.因此()1,Fxy关于X的边缘分布函数为10,0,(,)0.5,01,1,xFxx∞=≤其它.类似可求()1,Fxy关于Y的边缘分布函数为10,0,(,)0.5,01,1,yFyy∞=≤其它.()2,Fxy关于X和关于Y的边缘分布函数为7120,0,(,)0.5,01,1,xFxx∞=≤其它与20,0,(,)0.5,01,1,yFyy∞=≤其它.因此它们关于X和关于Y的边缘分布函数相同.习题习题习题习题3333....22223333....5555盒子里装有2只白球，2只红球，3只黑球，在其中任取4只球，以X表示取到白球的只数，以Y表示取到黑球的只数，求(,)XY的联合分布列及边缘分布列.解:按古典概率计算,从7只球中取4只球,共有4735C=种取法.在4只球中,白球有i只,黑球有j只(剩下4ij--只红球)的取法数为:4232ijijCCC--种.因此(,)XY的联合分布列为423247(,)ijijCCCPXiYjC--===,0,1,2i=,0,1,2,3j=,24ij≤+≤.于是2232473(0,2)35CCPXYC====,3132472(0,3)35CCPXYC====,112232476(1,1)35CCCPXYC====,1212324712(1,2)35CCCPXYC====,1323472(1,3)35CCPXYC====,2222471(2,0)35CCPXYC====,211232476(2,1)35CCCPXYC====,2223473(2,2)35CCPXYC====,(,)XY的联合分布列与边缘分布列为XY0123ip•0003/352/355/35106/3512/352/3520/3521/356/353/35010/35•jp1/3512/3518/354/353333....6666一批产品工有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.从这批产品中有放回的任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求:72(1)(,)XY的联合分布列；(2)(1,2)PXY≤≤.解:(1)因为X和Y的可能取值为0,1,2,3,事件{,}XiYj==表示取出的3件产品中一等品有i件、二等品有j件(三等品有3ij--件)的取法,取法总数为3!!!(3)!ijij--种,而对于每种取法的概率为3631101010ijij--,因此(,)XY的联合分布列为33!631(,)!!(3)!101010ijijPXiYjijij--===--，,0,1,2,3ij=,3ij+≤.(,)XY的联合分布列与边缘分布列为XY012300.0010.0090.0270.02710.0180.1080.162020.1080.3240030.216000(2)(1,2)(0,0)(0,1)(0,2)PXYPXYPXYPXY≤≤===+==+==(1,0)(1,1)(1,2)0.325PXYPXYPXY+==+==+===.3333....7777设事件A，B满足1()4PA=，1(|)(|)2PBAPAB==.记1,0AXA=若发生，，若不发生,1,0BYB=若发生，，若不发生.求,)XY(的联合分布列及边缘分布列.解（1）由于()111()()428PABPAPBA==×=，()()181()124PABPBPAB===，所以，1(1,1)()8PXYPAB====，1(1,0)()()()8PXYPABPAPAB====-=，1(0,1)()()(),8PXYPABPBPAB====-=(0,0)()1()PXYPABPAB====-U=51()()()8PAPBPAB--+=,所以(,)XY的联合分布列及边缘分布列为73XY01ip•05/81/83/411/81/81/4•jp3/41/43333....8888(,)XY的联合分布列为XY12300.10.10.310.2500.25求：(1)(0)PX=；(2)(2)PY≤；(3)(1,2)PXY≤.解(1)(0)(0,1)(0,2)(0,3)PXPXYPXYPXY====+==+==0.10.10.30.5=++=；(2)(2)1(3)1(0,3)(1,3)PYPYPXYPXY≤=-==-==-==10.30.250.45=--=；(3)(1,2)(0,1)(0,2)0.10.10.2PXYPXYPXY≤===+===+=.习题习题习题习题3333....33333333....9999设二维随机变量()35(1)(1),0,0,,~(,)0,xyeexyXYFxy----≥≥=其它.试求,)XY(的联合概率密度(,)fxy.解当0,0xy时,35(,)(1)(1)xyFxyee--=--.对(,)Fxy求二阶偏导，得(,)XY的联合概率密度为()2,(,)Fxyfxyxy∂=∂∂(35)15xye-+=.当0x或0y时,(,)0Fxy=,()2,(,)0Fxyfxyxy∂==∂∂.74于是,)XY(的联合概率密度(35)15,0,0,(,)0,xyexyfxy-+≥≥=其他.3333....10101010设二维随机变量()22,(,),(1)(1)AXYfxyxy=++求：(1)常数A；(2)联合分布函数(,)Fxy；(3)概率()(),PXYD∈，其中D是以(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的正方形区域.解(1)由联合概率密度(,)fxy的正则性，221(,)dddd(1)(1)Afxyxyxyxy+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++∫∫∫∫2π1A==,得21πA=.(2)2221(,)(,)dddd(1)(1)xyxyFxyfststststπ-∞-∞-∞-∞==++∫∫∫∫21(arctan)(arctan)22xyπππ=++.(3)()(),(1,1)(0,0)(0,1)(1,0)PXYDFFFF∈=+--913311648816=+--=.3333.1.1.1.11111设二维随机变量(),(,)XYfxy，则(1)PX等于(A)1d(,)dxfxyy∞-∞-∞∫∫.(B)1d(,)dxfxyy∞∞-∞∫∫.(C)1(,)dfxyx-∞∫.(D)1(,)dfxyx∞∫.解选(B).因为1(1)(1,)d(,)dPXPXYxfxyy∞∞-∞=∞-∞∞=∫∫.3333....11112222设二维随机变量()(6),02,24,,~(,)0,kxyxyXYfxy--=其它.求：(1)常数k；(2)(1,3)PXY；(3)(1.5)PX；(4)(4)PXY+.解（1）由于联合概率密度(,)fxy满足正则性,于是24021(,)ddd(6)d8fxyxyxkxyyk+∞+∞-∞-∞==--=∫∫∫∫，xox+y=42y175所以81=k.（2）130213(1,3)d(6)d88PXYxxyy=--=∫∫.（3）1.5402127(1.5)(1.5,)d(6)d832PXPXYxxyy=∞=--=∫∫.（4）(,)fxy的非零区域与{4}xy+的交集{(,)|02,24}Gxyxyx=-.()24024112(4),dd(6)ddd(6)d883xxyGPXYfxyxyxyxyxxyy-++==--=--=∫∫∫∫∫∫.3333....11113333设二维随机变量()(2),01,0,,~(,)0,cyxxyxXYfxy-≤≤≤≤=其它.求：(1)常数c；(2)(1)PXY+≤；(3)边缘概率密度.解（1）由于联合概率密度(,)fxy满足正则性,于是10051(,)ddd(2)d24xfxyxyxcyxyc+∞+∞-∞-∞==-=∫∫∫∫，所以4.8c=.（2）(,)fxy的非零区域与{1}xy+≤的交集1{(,)|1,0}2Gxyyxyy=≤≤-≤≤.()11201(1),dd4.8(2)ddd4.8(2)d0.3yyxyGPXYfxyxyyxxyyyxx-+≤+≤==-=-=∫∫∫∫∫∫.(3),XY（）关于X的边缘密度函数204.8(2)2.4(2)01()(,)0xXyxdyxxxfxfxydy+∞-∞-=-≤≤==∫∫其它.关于Y的边缘密度函数124.8(2)2.4(34)01()(,)0yYyxdxyyyyfyfxydx+∞-∞-=-+≤≤==∫∫其它.3333....11114444设二维随机变量(,)XY在由x轴、y轴及直线22xy+=所围成的三角形区域上D服从均匀分布，求边缘概率密度()Xfx和()Yfy.76解