解析函数

7第二章解析函数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分导数定义：设)(zfw，Dz（区域），Dz0．若极限zzfzzfz)()(lim000存在，则称)(zf在0z处可导，记为)(0zf，00,zzzzdzdfdzdw．若)(zf在区域D内处处可导，称)(zf在D内可导．例1．求32)(2zzf的导数．解：zzzzzzzzzfzzfzfzzz4)Δ2(2lim]32[]3)(2[lim)()(lim)(02200，)(Cz．（处处可导）．例2．问yixzf3)(是否可导)(iyxz？解：zzz，xxx，yyy，yixz．yixyixzyixiyyxxzzfzzfzzz3lim]3[])(3)[(lim)()(lim000．设zz沿平行于x轴方向趋于z，则0y，极限为1lim3lim00xxyixyixxz；设zz沿平行于y轴方向趋于z，则0x，极限为33lim3lim00yiyiyixyixyz．所以yixzf3)(的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导连续；但函数连续可导．证：“可导连续”．设)(zf在0z可导，则00,，当z0时，)()()(000zfzzfzzf．因此，0lim0z．而zzzfzfzzf)()()(000，所以)()(lim000zfzzfz，)(zf在0z连续．“连续可导”．见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记．(1))(,0)(Ccc；(2))(,)(1Nnznznn；(3))()(])()([zgzfzgzf；(4))()()()(])()([zgzfzgzfzgzf；8(5))0)g((,)()()()()()()(2zzgzgzfzgzfzgzf；(6))()(})]([{zgwfzgf，其中)(zgw；(7))(1)(zfw，其中)(zfw是)(wz的反函数，0)(zf．微分：若)(zf在0z可导，则)()()()(000zozzfzfΔzzfw，定义dzzfdw)(0．2．解析函数定义：(a)若)(zf在0z的某一邻域),(0zU内可导，称)(zf在0z处解析；D(b)若)(zf在区域D内的每一点解析，称)(zf在D内解析；.z0(c)若)(zf在0z不解析，称0z为)(zf的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点0z处可导，并不意味着在0z处解析．例1．讨论32)(21zzf和yixzf3)(2的解析性．解：)(,4)(11zfzzf在复平面上解析，称为全纯函数；)(2zf处处不可导，无处解析．y例2．讨论函数)1(1zzw的解析性．1解：当10zz及时，w可导：22)1()12(zzzdzdw．1Ox所以，在除0z及1z外的复平面上，)(zfw解析．而10zz和是w的两个奇点．称函数)(zfw为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数．结论：多项式在C内处处解析；有理分式函数)()()(zQzPzf在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数),(),()(yxivyxuzf是否解析，有如下的充要条件．定理．函数),(),()(yxivyxuzf在iyxz处可导的充要条件是：),(yxu、),(yxv在点),(yx处可微，并且满足RiemannCauchy－方程：xvyuyvxu,．9此时，有导数公式xyyxviviuuzf)(．（证略）注：(1)若),(yxu、),(yxv在D内具有一阶连续偏导数，且满足RC－方程，则)(zf解析；(2)将点改成区域D，便得)(zf在D内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析．(1)zzf)(；(2))sin(cos)(yiyezfx．解：(1)iyxzzf)(，yvxu,．100,1yxyx,v,vuu．yxvu，不满足RC－方程，故zzf)(无处可导，无处解析．(2)yeuxcos，yevxsin．由于xxyyxxvyeuvyeusincos，)(zf处处解析，全纯函数．例2．证明：若在区域D内0)(zf，则czf)(（复常数）．证：000)(iviviuuzfxyyx，故0yxyxvvuu21c,vcucicczfΔ21)(．y例3．函数iyxzf2)()(iyxz在何处连续？何处可导？何处解析？解：yvxu,2，二元初等函数，处处连续，所以)(zf处处连续．5.0Ox0012xyyxvuvxuR,yx21．故)(zf仅在直线21x上可导，1)(zf．但直线不含邻域，所以)(zf无处解析．§3．初等函数1．指数函数：复变数指数函数：)sin(cosexp)(yiyeeeeezzfxyixyixz．它等价于关系式：xzee及kyeArgz2)(．故0ze．zezf)(具有性质：(1))()(zfzf，)(zf在C内解析；(2)若0)Im(zy，xezf)(；若0)Re(zx，yiyezfiysincos)(；(3)ze服从加法定理：2121zzzzeee，2121zzzzeee；10(4)ze以ik2为周期：)(,22Zkeeeezikzikz．例1．计算22ie．大写整数集Z解：22222sin2cosieieei．2．对数函数定义：指数函数0)(,zzew的反函数称为对数函数．记作),(),()(yxivyxuzfw，而irez．则iivuree，故r,vueruln,．这样，对数函数为)0(,lnzzLniArgzzw（多值函数）．若Argz取主值，记zizzarglnln，称为zLn的主值．其它分支可表为)0(,2lnZ,zkikzzLn．称为zLn的单值分支．特别，当xzxzlnln,0时（实对数函数）．运算性质：2121)(LnzzLnzzLn，2121LnzzLnzzLn．例1．求3Ln，)1(Ln，iLn以及相应的主值．解：ikLn23ln3，)(Zk；主值为3ln；ikiArgLn)12()1(1ln)1(，)(Zk；主值为i)1ln(；ikiArgiiiLn)212(ln，)(Zk；主值为ii2ln．对数函数的连续性与解析性：对于zizzarglnln，当0z时，zln连续，而zarg则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，zln处处连续．wez在区域zarg的反函数zwln单值，由反函数的求导法，有：zedwdedzdwzww11)(ln1．因此，在除去原点与负实轴的复平面内zln解析，zln的每个单值分支也解析，且zLnz1)(．3．幂函数11定义：)(lnziArgzLnzzLneeezw，（0,z为复常数）．由zLn的多值性，ikzLnzeeew2ln，)(Zk．可见，z也是多值函数（当不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，z的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111)()(zzzzeezLnzzLn．例1．求21和ii)1(的值．解：ikiArgLneee22)11(ln21221，)(Zk．)2lnsin2ln(cos)1(24)2ln24()4i22ln()1(ieeeeikikikiiLnii，)(Zk．4．三角函数与双曲函数由)(21sin)(21cossincossincosiiiiiieeieeieie，称为Euler公式．定义：)(21sin),(21coszizizizieeizeez．zzzcossintan；zzctgsincos；zzcos1sec；zzsin1csc．zzcos)(sin，zzsin)(cos，处处解析．大多数三角公式对于zzcos,sin成立．双曲余弦：)(21coshzzeechzz；双曲正弦：)(21sinhzzeeshzz；双曲正切：zzzzeeeechzshzthzztanh．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析．5．反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数．wzsin的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21siniwiweeiwz，得iwe的二次方程：012)(2iwiwizee，根为：21zizewi，（21z为双值函数）．所以)1(sin2zizLnizArcw．反余弦函数：)1(cos2zzLnizArc；反正切函数：izizLniArctgz112．12双曲函数的反函数称为反双曲函数．它们是：反双曲正弦：)1(2zzLnArshz；反双曲余弦：)1(2zzLnArchz；反双曲正切：z1z121LnArthz．它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数．如：zeztgzw2，zewzlnsin，等等．