几何画板中双动点在两个不同折线上的运动动画制作

几何画板中双动点在两个不同折线上的运动动画制作（2011年吉林数学中考题28题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm，从初始时刻开始，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A—B—C—E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B—C—E—D的方向运动，到点D停止。设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y=cm2；当x=9/2s时，y=cm2。（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式。（3）当动点P在线段BC上运动时，求出时x的值。（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值。步骤一：基本图形的绘制1．利用【点工具】在绘图区任意绘制一点，标记为A。选中点A，单击菜单栏中的【变换】→【平移】，得到“平移”对话框，在极坐标方式下，将“固定距离”设为1cm，“固定角度”设为0°，单击【平移】，得到平移的点。依次选中点A和平移后的点，单击菜单栏中的【构造】→【射线】，得到一条射线，该射线处于被选中状态。保留射线的选中状态，再单击【构造】→【射线上的点】，得到射线上的一点，拖动该点到合适位置，标记为点D。拖动点D，可以看到点D只能在射线上移动。隐藏平移后的点和射线，可以得到图1所示。２．（1）双击点A，将其标记为缩放中心，再选中点D，单击菜单栏中的【变换】→【缩放】，得到缩放对话框，在默认的情况下，缩放参数的固定比是1/2，这里将分子改为5，分母改为8，单击【缩放】，得到第一个缩放点。再双击点A，将其标记为旋转中心，选中缩放点，单击【变换】→【旋转】，得到旋转对话框，在默认的情况下，旋转参数为固定角度为90°，我们直接单击【旋转】，得到旋转点，标记为B。可以得到图2所示。注意：这里的AD长并不是8cm，但是AB与AD的比值正好是5/8，相当于把原来的图形进行了缩放（8cm比较大，因此我们需要缩小处理）。（2）双击点A，将其标记为缩放中心，再选中点D，单击菜单栏中的【变换】→【缩放】，得到缩放对话框，图3-1将缩放参数的固定比，分子改为4，分母改为8，单击【缩放】，得到第二个缩放点（即AD的中点）。依次选中点A、B（这里注意选点的顺序），单击菜单栏中的【变换】→【标记向量】，可以看到从点A到点B的动画闪烁，再选中第二个缩放点，单击菜单栏中的【变换】→【平移】，得到“平移”对话框，如图3-1所示，“平移变换”已经默认为“标记”方式，且已经是从点A到点B，单击【平移】，得到平移的点，标记为点C，可以得到图3-2所示。（3）选中第一个缩放点，单击【显示】→【隐藏点】，将此点隐藏。将第二个缩放点标记为点E。再依次选中点A、B、C、D，单击【构造】→【线段】，得到四边形ABCD。同样方法构造线段CE（构造线段也可以使用快捷键Ctrl+L）。结果如图4所示。步骤二：动点及动态三角形的绘制3．主动点的绘制（选点P为主动点）（1）利用【多边形工具】（不带边界），依次单击点A、点B、点C和点E，再在点C附近任意单击一下，点B的附近任意单击两下（注意不能与已经单击的四个点重合）可以得到一个带内部的多边形，如图5所示。接着单击【构造】→【边界上的点】，得到的点标记为点P（得到点是多边形上的任意点），如图6所示。(这里构造多边形，是因为点P的运动路径为折线，所以要构造封闭路径保证点P的连续运动，封闭路径要构造成多边形才可以保证点的运动的连续性，后面点Q的路径类同)。将点B和它附近的点选中，单击【编辑】→【合并点】，点B和它附近的点合并为一点，同样将点C和它附近的点合并。拖动点P，可以看到点P在折线A—B—C—E上连续移动。拖动字母P调整其位置在多边形ABCE的外部，如图7所示。（2）双击线段AD，标记为镜面（可以看到动画闪烁），再单击点B、C，单击【变换】→【反射】，得到这两点的对称点，如图8所示。单击工具栏中的【多边形工具】（不带边界），接着单击点A、点B、点C、点C的对称点，双击点B的对称点，结果如图9所示。图形的选中状态保持不变，接下来单击点P，同时按住Shift键，单击【度量】→【点的值】，得到点P在多边形上的相对位置度量值，即“P在ABCC'B’上=……”（这里由于点P只能在折线A-B--C-E上运动，所以等号后面的值在0.00到0.50间变化，后面要将这个值乘以2，保证在线段上的值在0.00到1.00之间变化），如图10中的文本框所示（拖动点P，等号后面的值随点P的位置改变）。拖动度量值文本框，可以调整其位置。图10图11（3）选中多边形BCC’B’和点C’、B’，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏对象”按钮方框，将标签改为“四边形BCC’B’”，单击按钮可以隐藏或显示多边形。（4）单击【数据】→【计算】，得到“新建计算”计算器，单击点P的度量值，出现在计算器里，再单击对话框中的乘号“﹡和数字2，如图11所示，单击“确定”，得到第二个度量值文本框，如图12所示。4．从动点的绘制（把折线上的运动转化为线段上的运动）（1）单击【线段直尺工具】，画一条任意长度的水平线段，标记为13（1在左，3在右）。（2）双击点1，标记为缩放中心，再单击点3，单击【变换】→【缩放】，缩放参数是固定比为13/14，得到的缩放点标记为2。（3）单击线段13(可以拖动点3，将线段拉长一些容易单击)和图12中的值（这样可以让点P的运动参数控制这个点），再单击【绘图】→【在线段上绘制点】，得到的点标记为点P’，如图13所示。（4）依次选中点1、2，单击【构造】→【线段】，构造线段12，得到线段12后保持选中状态，再选中点P’，同时按住Shift键，单击【度量】→【点的值】，得到点P’在线段12上的相对位置度量值，即,（省略号代表的值随P’的位置改变）。单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算的值（方法同前）。（若前面度量值为,则计算的值，这样保证后面绘制的点与点P运动方向一致）（5）依次单击点B、C、E、D，再在点E附近任意单击一下，点C附近任意单击两下（不能与已经单击的四个点重合），结果如图14所示，保持图形的选中状态，再单击的值，单击【绘图】→【在六边形上绘制点】，得到绘制点，标记为Q。分别合并点C、E及其附近的点（方法同前）。拖动点P，可以看到点Q和点P’都随之运动（这里点P控制点P',点P'控制点Q）。至此，点Q作为从动点绘制完成.（6）依次选中点A、P、Q，单击【构造】→【三角形内部】,得到不带边界的三角形。拖动点P，可以看到△APQ随之改变形状。至此，动态的三角形也绘制完成，如图15所示。步骤三：函数图象的绘制5．选中△APQ的内部，单击【度量】→【面积】，得到“△APQ的面积=……”的值（这个值随动点的位置变化而改变）。单击点A、D，单击【度量】→【距离】,得到“AD=……厘米”的值（这个值随点D的运动变化）,单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算“△APQ的面积÷（AD÷8）^2”的值，结果如图16所示。光标放在图16的文本框上，右击鼠标，出现下拉菜单后，单击【属性】，出现度量值对话框后，将标签改为y，单击【确定】，度量值最后改为“y=……”（这里不再有单位）。6．选中图12的度量值（即P在ABCC'B'上*2=……），单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算“（P在ABCC'B'上*2=……）*14”的值，再将度量值标签改为x（方法同5），结果为“x=……”。7．单击【数据】→【新建参数】，出现“新建参数”对话框，将名称改为x，数值改为2，单击【确定】，结果为,同样方法新建参数（因为x和y的数据较大，在坐标系中需要改变单位长度的值，以便于观察函数图象）。8．单击【自定义工具】→【蚂蚁坐标系】→【平面直角坐标系【参数版】】，再依次单击和,移动鼠标以后，此时会出现一个调控手柄，在合适的位置单击一下，调控手柄出现在绘图区，同时出现一组控制按钮，然后在合适的位置再单击一下，又会出现一个坐标系，可以得到如图17所示。现在的坐标系有点乱，单击控制按钮中的【系统初始化】，坐标系变成正常态了，拖动坐标系中坐标轴上四个手柄，使坐标系中刻度值的大小符合x和y的范围（这里0≤x≤14,0≤y≤10），还可以利用图17中的调控手柄调整单位长度的大小，使其符合绘图需求（自已可以拖动其他手柄，看看它们的作用）。将坐标系调整如图18所示。9．依次选中“x=……”和“y=……”，单击【绘图】→【绘制点（x，y）】，可以在坐标系中得到一个点，拖动点P，这个点随点P运动。10．给△APQ和坐标系中的点加上颜色：（1）△APQ随点P的运动形状不断发生改变，我们可以让三角形在不同的位置显示不同的演示。我们先计算分界点，当0≤x≤4，4x≤5,5x≤9，9x≤13，,13x≤14时，三角形面积的计算方法不同，所以分界点为x=4，x=5，x=9，x=13。我们可以新建一个符号函数来构造一个颜色参数yanse，使其控制三角形的颜色变化。单击【数据】→【新建函数】，在“新建函数”计算器中，输入式子sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1），得到结果为f（x）=sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1）。单击【数据】→【计算】，出现“新建计算”计算器后，点击f（x）=sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1），计算器中出现f（），输入4÷14，单击【确定】，得到“f(4/14)=……”，这里省略号所代表的值，只有1.00和0.00。用同样的方法计算f（5/14）、f（9/14）和f（13/14）的值。接着单击【数据】→【计算】，出现“新建计算”计算器后，计算的值，出现度量值文本框后，标签改为“yanse”（方法同5），结果为“yanse=……”。（2）单击△APQ的内部和度量值“yanse=……”，再单击【显示】→【颜色】→【参数】，出现“颜色参数”对话框，如图19所示，【颜色范围】选【单向循环】，【参数范围】选“0.0”到“2.0”(参数范围一般选“0.0”到“1.0”)，单击【确定】，拖动点P，则△APQ的内部颜色随之改变。用同样方法给坐标系中的点设置加上颜色。图1911．选中点P和坐标系中的点（此时绘制的点已经自动隐藏，显示出来的点是通过颜色参数设置的点，单击【构造】→【轨迹】，可以得到y随着x变化的函数图象。可以选中图象，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏轨迹”按钮方框，点击可以隐藏或显示图象轨迹。12．通过自定义颜色变换构造动态的图像：（1）选中点P和坐标系中的点，单击【变换】→【自定义颜色变换】，得到“创建自定义变换”对话框，“自定义变换名称”选默认的“颜色变换1”，单击【确定】。（2）选中线段13和点P’，同时按住Shift键，单击【度量】→【点的值】，得到，单击【数据】→【计算】，出现“新建计算”计算器后，计算的值。单击“四边形BCC’B’”操作按钮，显示四边形BCC’B’和点C’、B’。选中四边形BCC’B’和,单击【绘图】→【在五边形上绘制点】，得到与点P重合的点，保持绘制点的选中状态，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏绘制的点”按钮方框，点击可以隐藏或显示绘制点。隐藏绘制的点，选中点P，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏点P”按钮方框，点击可以隐藏或显示点P。（3）隐藏点P，显示绘制点，将绘制点标签改为4，选中点4和点P’，单击【变换】→【自定义颜色变换】，得到“创建自定义变换”对话框，“自定义变换名称”自定义为“P’→4变换”，点击【确定】。（4）构造线段1P’（这里是构造点P’的运动路径），保持线段1P’的选中状态，单击【变换】→【P’→4变换】，结果显示为点P运动的路径（线段或折线），保持点P运动路径的选中状态，单击【变换】→【颜色变换1】，得到坐标系中带颜色的动态轨迹，如图2