FFT变换及其应用

实验报告实验课程：数字信号处理实验内容：实验5FFT变换及其应用院（系）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2013年6月26日数字信号处理实验1一、实验目的：1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。二、实验原理：在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：反变换为：有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度。它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。(一)在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：(1)混叠序列的频谱被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足奈奎斯特定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。(2)泄漏实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，数字信号处理实验2从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。(3)栅栏效应DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。三、实验内容及步骤：(1)用FFT计算连续时间信号0,)(1.0tetxta的频谱。分析：该信号峰值为1，在t50其幅度小于0.0067，所以若选择L=N*T=50，则信号的主要部分将被覆盖，因信号有效长度不够导致的频谱泄漏可以忽略，可先在L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;T2=1,N2=50;T3=0.5,N3=100;T4=0.1,N4=500，作图查看采样频率在采样时间T为多少时，频谱混叠现象基本可以忽略。原理：检查信号折叠频率处的幅度值，越小越好，一般可以将之与幅频特性曲线中的最大值相比较，若比值小于1%则混叠可以忽略，当然为0更好（实际不可能）。然后固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。最后，可以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500(后300点为补零点)的频谱对比，试分析得出的结果。1、L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;T2=1,N2=50;T3=0.5,N3=100;T4=0.1,N4=500，作图查看采样频率在采样时间T为多少时，频谱混叠现象基本可以忽略。程序代码:T=[210.50.1];N=[2550100500];forstep=1:1:4n=0:(N(step)-1);x=exp(-0.1*n*T(step));subplot(2,4,step);stem(n,x);title(['时域信号(T=',num2str(T(step)),',N=',num2str(N(step)),')']);xlabel('时间');ylabel('振幅');grid;subplot(2,4,step+4);h=T(step)*fftshift(fft(x));数字信号处理实验3D=2*pi/(N(step)*T(step));k=floor(-(N(step)-1)/2:(N(step)-1)/2);plot(k*D,abs(h));g=abs(h(1))/abs(h(fix(N(step)/2)));titleLine1='幅频特性';titleLine2=['振幅(混叠系数：η=',num2str(g),')'];%title([titleLine2;titleLine2]);%分成两行显示xlabel('模拟频率');ylabel(titleLine2);title(titleLine1);%ifstep==4%sp=input('请输入幅频特性横轴显示范围');%axis([-55012]);%elseifstep==2%axis([235265012]);%endgridendstr=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);disp('所有图形绘制完毕');str=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);%矩阵赋值方法：x=[123]或x=[1，2，3]是赋值一行，x=[1；2；3]是赋值一列，%x=[1,2,3;4,5,6]是赋值两行三列矩阵。一个两行三列矩阵x，取数要用如x(2,3)方式取%字符串数组也类似，但字符串数组是以单个字符而非引号内的串为最小%存储单位，如str=['abc','def';'xyz','dgf']是两行六列的字符矩阵而非字符串矩阵%注意每行的字符数必须一样，否则矩阵失衡。x(2,:)是取矩阵第二行实验结果截图：数字信号处理实验42、固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。实验代码：T=0.1;N=[2050500800];forstep=1:1:4n=0:(N(step)-1);x=exp(-0.1*n*T);subplot(2,4,step);stem(n,x);title(['时域信号(T=',num2str(T),',N=',num2str(N(step)),')']);xlabel('时间');ylabel('振幅');grid;subplot(2,4,step+4);h=T*fftshift(fft(x));D=2*pi/(N(step)*T);k=floor(-(N(step)-1)/2:(N(step)-1)/2);plot(k*D,abs(h));g=abs(h(1))/abs(h(fix(N(step)/2)));titleLine1='幅频特性';titleLine2=['振幅(混叠系数：η=',num2str(g),')'];xlabel('模拟频率');ylabel(titleLine2);title(titleLine1);endstr=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);disp('所有图形绘制完毕');str=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);数字信号处理实验5实验结果截图：3、以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500(后300点为补零点)的频谱对比，试分析得出的结果。实验代码：T=0.1;N=500;M=150;n=0:N-1;m=0:M-1;x1=exp(-0.1*n*T);x2=[exp(-0.1*m*T)zeros(1,350)];x=[x1;x2];forstep=1:1:2subplot(2,2,step);stem(n,x(step,:));title('时域信号');xlabel('时间');ylabel('振幅');grid;subplot(2,2,step+2);h=T*fftshift(fft(x(step,:)));D=2*pi/(N*T);数字信号处理实验6k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);plot(k*D,abs(h));titleLine1='幅频特性';xlabel('模拟频率');ylabel('振幅');title(titleLine1);axis([-88012]);gridendstr=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);disp('所有图形绘制完毕');str=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);实验结果截图：（2）用FFT计算连续时间信号0,1.2cos22cos)(015.001.0ttetetxtta的频谱分析：若混叠系数（幅频特性曲线中奈奎斯特频点处对应幅值与峰值之比）小于1%，则混叠效应可以忽略。分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，得出合理采样间隔T。然后固定T=0.1，改变N(分别取N=512,1024,2048，4096),当N取多少时，频谱图无频谱泄漏且物理分辨率达到要求（能够分辨出两个单频点）？请分析信号频谱图形结果（必要时使用图形“放大镜”工具观察或通过axis()函数改变频率轴显示范围）。数字信号处理实验71、分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，得出合理采样间隔T。实验代码：T=[0.60.1];N=[5124096];forstep=1:1:2n=0:(N(step)-1);x=exp(-0.01*n*T(step)).*cos(2*n*T(step))+2*exp(-0.015*n*T(step)).*cos(2.1*n*T(step));subplot(2,2,step);stem(n,x);title(['时域信号(T=',num2str(T(step)),',N=',num2str(N(step)),')']);xlabel('时间');ylabel('振幅');grid;subplot(2,2,step+2);h=T(step)*fftshift(fft(x));D=2*pi/(N(step)*T(step));k=floor(-(N(step)-1)/2:(N(step)-1)/2);plot(k*D,abs(h));g=abs(h(1))/max(abs(h));abs(h(1))max(abs(h))titleLine1='幅频特性';titleLine2=['振幅(混叠系数：η=',num2str(g),')'];%title([titleLine2;titleLine2]);%分成两行显示xlabel('模拟频率');ylabel(titleLine2);title(titleLine1);%ifstep==4%sp=input('请输入幅频特性横轴显示范围');axis([-88070]);%elseifstep==2%axis([235265012]);数字信号处理实验8%endgridendstr=['@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'];disp(str);di