复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.一复数商与内积的联系复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.例1复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i，它们的三角式分别为z1=|z1|(cosθ1+isinθ1),z2=|z2|(cosθ2+isinθ2),对应的向量分别是1oz=(a1,b1)、2oz=(a2,b2).然后复数作商:代数式作商:21zz=2221122121||)()(zibababbaa；-------------(1)三角式作商：21zz=||||21zz[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2)比较(1)(2)式,可得||||21zz[cos(θ1-θ2)]=222121||zbbaa,……(3)||||21zz[sin(θ1-θ2)]=222112||zbaba………(4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间的夹角余弦公式:cos(θ1-θ2)=||||212121ozozbbaa,(我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ1-θ2|∈),0[，所以1oz与2oz的夹角就是|θ1-θ2|).(2)向量内积:1oz·2oz=a1a2+b1b2=|1oz|·|oz2|cos(θ1-θ2).若对(4)取绝对值得到:|1oz×2oz|=|a1b2-a2b1|=|1|oz|·2|oz|sin(θ1-θ2)|,这是空间xoy平面上向量)0,,(),0,,(2121bbbaaa叉积的绝对值,是以线段oz1、oz2为邻边的平行四边形的面积公式.复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式.若复数代数式iyxziyxz222111,的三角式分别是)sin(cos1111irz,2z)],sin()[cos(222ir然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.二复数向向量表示上的转化联系利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.例2已知复数z1、z2的模为1，z1+z2i2321,求复数21、zz.解：根据题意，设复数21、zz对应的向量为21oz、oz，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记zzz21，对应向量oz.2z21zz=z∵oz对应的复数是i2321oz1x∴1||oz，∠zoz1=6001||1oz∴oz1z是正三角形,ozz2zoz12ozz是正三角形.∴11z,iz23212,或1,232121ziz.本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.例3复平面内，已知动点A,B所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，)20(，O为原点，ΔAOB的面积是定值S，求ΔAOB的重心M所对应的复数模的最小值.图2.解：根据题设，设向量OM、OB、OA对应复数、z、zz21且||||||||||||2211zOM、rzOB、rzOA,则有2sin2121rrs,2sin221srr∵)(31OBOAOM图2∴)()(91||91||22OBOAOBOAOBOAOM=)2|||(|9122OBOAOBOA=)2cos2(91212221rrrr≥221cos22sin292)2cos1(92srr=cot94s∴|z|=|cot32|sOM,即重心M所对应的复数模的最小值cot32s（1z=2sin2s)sin(cos2sin2),sin(cos2iszi时，取最小值）.该题用向量方法可较简捷获解.复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形,或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.三向量向复数表示上的转化联系利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.例4已知三个不共线的向量,,,cba且,0cba证明:cba,,可构成一个三角形.证明:不妨设cba,,对应复数的三角式分别为:),sin(cos111ir)sin(cos222ir,),sin(cos333ir且321rrr.ocbaoiririr)sin(cos)sin(cos)sin(cos333222111)1......(0coscoscos332211rrr332211sinsinsinrrr=0………(2)由(1),(2)解得)cos(22121222123rrrrrcba,,不共线,)(21Zkk1)cos(1212122212321222122rrrrrrrrr12312rrrrrcba,,可构成一个三角形.从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白.向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.四复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.例5已知线段AB的中点C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD和BFCG,又作平行四边形CFHD和CGKE,求证H、C、K三点在一条直线上,且CK=CH,如图3.证明:以C为原点,AB为X轴建立直角直角坐标系.设向量CD、CF、CB对应复数321,z，zz那么,向量CE、CGCA、对应复数分别为31211zz、z、zz；又CDCFCH、CECGCK分别对应复数32zz、)()(3121zzzz∵1)()(312132zzzzzz，图3∴1CKCH，∴CK、CH平行，但又有公共点C，故H、C、K三点共线,且CK=CH.例6已知kP(k=1,2,……,n)是单位圆上的n个等分点,P是该圆上任意一点,求证22221||......||||npppppp为一定值.如图4.证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立坐标系,则∠nkoppkn2(当k=n时,假定此角为2),∵点inknkzpkk2sin2cos对应的复数三角式为,对应向量是kop,则其长为1,向量和01111nkknkknkkzzop对应于复数和,即01nkkop.∴22221||......||||npppppp=22221||......||||npppppp=()()(.....)()()()2211opopopopopopopopopopopopnn=)......(2||||......||||21222221nnopopopopopnopopop=2n-2oop=2n,为定值.在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率.要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.例4已知),.....,2,1(nkpk是单位圆上的n个等分点(按逆时针排列)，o是原点，求证：oopnkk1证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立直角坐标系,则∠nkoppkn2(当k=n时,假定此角为2).∵点inknkzpkk2sin2cos对应的复数三角式为,对应向量是kop,则其长为1,向量和01111nkknkknkkzzop对应于,∴01nkkop.这种等分圆周的有关向量求和问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求和来完成.