4-1概率论

第四章随机变量的数字特征概率分布能完整地描述随机变量的统计特性,但实际应用中,有时并不需要知道概率分布而只需知道随机变量的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度.例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.平均值偏离程度随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写一、数学期望的概念三、数学期望的性质二、随机变量的函数的数学期望四、小结§4.1随机变量的数学期望引例一、数学期望的概念某射击手在同样的条件下,瞄准靶子射击N次,射中8环、9环、10环的次数分别为n1,n2,n3,那么该射手平均每次射中多少环？1238910nnnN3128910nnnNNN31kkknxN平均射中环数=射击总环数÷射击总次数解：用Y表示射手射中的环数,则Y为随机变量.N31kkkxp频率“平均射中环数”等于射中环数的可能取值与其概率之积的累加定义1.)().(.,,,.,2,1,}{111iiiiiiiiiiipxXEXEXpxpxipxXPX即记为又称为均值简称期望的数学期望的和为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量1.离散型随机变量的数学期望关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.试问哪个射手技术较好?例1甲乙两射击手,他们的击中靶的环数X,Y为随机变量,其分布律分别为X8910P0.30.20.5Y8910P0.50.20.3()80.390.2100.59.2,EX()80.590.2100.38.8.EY平均起来甲射手每枪击中9.2环,乙射手每枪击中8.8环,因此甲射手的水平要高一些.解例2设X服从参数p为的(0-1)分布,求E(X).X的分布律为解{0}1,{1}PXpPXp.1)1(0)(pppXE例3二项分布),,,2,1,0(,)1(}{nkppCkXPknkkn.10p则有}{)(0kXPkXEnkknknkknppkC)1(0设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为1!(1)!()!nknkkknppknk)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp1)]1([nppnp)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp=np例4泊松分布.0,,2,1,0,!}{kekkXPk则有0!)(kkekkXE11)!1(kkkeee.~(),X设且分布律为2.连续型随机变量的数学期望(),()d,()d,().()()d.XfxxfxxxfxxXEXEXxfxx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛则称积分的值为随机变量的数学期望记为即定义2设随机变量X具有概率密度1,10()1,010,xxfxxx其他求E(X).解:()()EXxfxdx例50110(1)(1)xxdxxxdx=0例6(均匀分布)则有()()dEXxfxxbaxxabd1).(21ba1,,()0,.axbfxba其它).(),,(~XEbaUX求设).(21ba结论区间上均匀分布的平均值位于区间的中点.解X概率密度为例7指数分布,,0,()0.0,0.xXexfxx设随机变量服从指数分布其概率密度为其中则有()()dEXxfxx0dxxex.100dxxxeex例8正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有()()dEXxfxx22()21d2xμσxexσtσμx令,tσμx22()21(),0,.2xμσfxeσxσ.μ22221dd22ttσμettet22()21()d2xμσEXxexσ所以221()d2tμσtetμ正是它的数学期望。中的可见),(,2N注：有的随机变量的数学期望不存在.例9设离散型随机变量X具有分布律(2)1{},1,2,2kkPXkk由于级数11(2)1(1)2kkkkkkk条件收敛,所以X的数学期望不存在.例10设随机变量X的密度函数为求E(X).21()()(1)fxxx0220()(1)(1)xxxfxdxdxdxxx由于202011ln(1)|ln(1)|22xx发散,所以X的数学期望不存在.解(1)若X为离散型随机变量，分布律为设Y=g(X)(g(x)为连续函数)为X的函数.),,2,1(,}{kpxXPkk二、随机变量的函数的数学期望定理111)()]([)(,)(kkkkkkpxgxgEYEpxg则有绝对收敛如果级数(2)若X是连续型随机变量,概率密度为f(x),dxxfxgxgEYEdxxfxg)()()]([)(,)()(则有绝对收敛如果积分解311213121121031)2()(33333XE例11求).(3XE31023121121121Xp的分布律为设X例12设连续随机变量X的概率密度为解:.的期望求XeY推广：二维随机变量函数的数学期望则有绝对收敛如果级数的分布律为并且数为连续函为离散型随机变量若,),(,,2,1.,},{),(),,(,),(,),()1(,jiijjiijjipyxgjipyYxXPYXYXgZyxgYXjiijjipyxgYXgEZE,),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZEdxdyyxfyxgyxfYX),(),()],([)(,),(),(),,(,),()2(则有绝对收敛如果级数概率密度为为连续型随机变量若(),().EXYEXY求解：例设随机变量X和Y的联合分布律为X1234Y00.1000100.40.20.120000.2例13设(X,Y)的概率密度为).(),(XYEXE求解：三、数学期望的性质性质1设C为常数,则有CCE)(性质2设X是随机变量,C为常数,则有)()(XCECXE性质4设X,Y是相互独立的随机变量,则有)()()(YEXEXYE)()()(,YEXEYXEYX则为随机变量、性质3性质5若aXb,则有aE(X)b.性质3和性质4都可以推广到有限个随机变量.例14将n封发往不同地址的信随机装入已写好地址的n个信封中,求信与信封恰好配对的个数X的数学期望.由于E(Xk)=解:k=1,2,…,nnkkXX1则)0(0)1(1kkXPXPn11()()nkkEXEX故11nn1,0kX，第k封信正好装入第k个信封第k封信没有装入第k个信封四、小结1.数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质00001();2()();3()()();4,()()().ECCECXCEXEXYEXEYXYEXYEXEY独立3.常见离散型随机变量的数学期望分布名称分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,p)kkppkXP1)1(}{k=0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP)1(}{k=0,1,2,…,nnp泊松分布)(~PXP{X=k}=ekk!k=0,1,2,…4.常见连续型随机变量的数学期望分布名称概率密度)(XE均匀分布X~U[a,b]p(x)=其他,0],[,1baxab2ba正态分布),(~2NXp(x)=222)(21xe指数分布)(~EX)0(,00,p(x)其他xex11、某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门，若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.2、设随机变量X的概率密度为000)(xxexfxXeY2求的数学期望.课堂练习1、解设试开次数为X，X是离散型随机变量，分布律为于是E(X)nknk112)1(1nnn21n2、解Y是随机变量X的函数,31)()(022dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n,k=1,2,…,n根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1你知道自己该交多少保险费吗?备份题解设1年中死亡人数为X,)002.0,10000(~bX则10000010000)002.01()002.0(10000)(kkkkkXE).(20人被保险人所得赔偿金的期望值应为).(40000200020元若设每人一年须交保险费为a元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知4000010000a),(4元a故每人1年应向保险公司交保险费4元.:),(,规定以年计记使用寿命为付款的方式的销售采用先使用后某商店对某种家用电器X例2商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款XXXX..0,0,0,101)(,10的数学期望试求该商店一台收费概率密度为服从指数分布　　设寿命YxxexfXx解xeXPxd101}1{10101.01e,0952.0xeXPxd101}21{10212.01.0ee,0861.0xeXPxd101}32{1032,0779.03.02.0eexeXPxd101}3{103.7408.03.0e的分布律为因而一台收费YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得.15.2732即平均一台收费其规律为独立且两者到站的时间相互的但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站某车站每天按规定.,,00:10~00:9,00:9~00:8,到站时刻概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望求他候车时间的数学期到车站一旅客.,20:8(ii)望求他候车时间的数学期到车站一旅客例3).(以分计设旅客的候车时间为X解的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为625063306110)(XE).(33.33分的分布律为X(ii)Xkp106330625061617063619062