4-3概率论

一、协方差二、相关系数§4.3协方差及相关系数三、小结那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YDXDYXD()DXY()()2{[()][()]}.DXDYEXEXYEY一、协方差协方差不相互独立和若随机变量YX,则)]}.()][({[),ov(),,Cov(.,)]}()][({[,),(YEYXEXEYXCYXYXYEYXEXEYX即记为的协方差与则称之为随机变量存在如果是二维随机变量设1.定义).(),(Cov,,XDXXYX时当由定义2.协方差的性质);,Cov(),Cov()1(XYYX;,,,),Cov(),Cov()4(为常数dcbaYXacdcYbaX).,Cov(),Cov(),Cov()5(2121YXYXYXX);()()(),Cov()2(YEXEXYEYX).,Cov(2)()()()3(YXYDXDYXD,,)()(),(Cov,0)(,0)(,)(),(),,(Cov,,XYYXYDXDYXYDXDYDXDYXYX记为的相关系数与为称且存在若是随机变量设1.定义)()(),Cov(YDXDYXρXY即二、相关系数记为X和Y的标准化随机变量,则有XY即X和Y的相关系数就是它们的标准化随机变量的协方差,所以相关系数也称为标准协方差.)()(,)()(**YDYEYYXDXEXX)()(,)()(Cov),(Cov**YDYEYXDXEXYX)()(),(CovYDXDYX),4,0(),3,1(,22NNYX分别服从　　已知随机变量.)2(.)1(的相关系数与求的数学期望和方差求ZXZ解.16)(,0)(,9)(,1)()1(YDYEXDXE由)21()(YXEZE得　　)(21)(YEXE.1例1.21,21YXZXY)21()(YXDZD),Cov()(41)(YXYDXD)()()(41)(YDXDρYDXDXY.19649)21,Cov(2)21()(YXYDXD)()(21)(YDXDρXDXY.1239Cov(,)121.12()()XZXZDXDZ故)21,Cov(),Cov()2(YXXZX),Cov(21),Cov(YXXX2.相关系数的性质.1)1(XYρ21XY{}1.PYaXb的充要条件是：存在常数(0),aab使得且当0a当时，1,XY0a时，1.XY.11存在一种线性关系之间以概率与说明YXXY.,0不相关与称若YXXY3.相关系数的意义.,,的线性关系较密切表明较大时当YXρXY.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY,之间的相关程度与的大小反映了YXXY.,1.,1完全负相关与称若完全正相关与称若YXYXXYXY（此时X与Y之间不存在线性关系）.以下四个命题是等价的：(1)X与Y不相关；(2)Cov(X,Y)=0；(3)E(XY)=E(X)E(Y)；(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)；不相关与相互独立的关系注意相互独立不相关例2设X和Y的分布律如下表格所示：XY-2-112P{Y=j}1401/41/401/4001/41/21/2P{X=i}1/41/41/41/41(1)求；(2)判别X与Y的独立性.XY()0EXY5()2EY()()()EXYEXEY0XY(1)()0EX即X与Y不相关.1111(2){1,1}{1}{1}4428PXYPXPY所以X与Y不独立.解例3设(X,Y)在区域D={(x,y)|0y1,|x|y}上服从均匀分布,求X与Y的相关系数,并判断X与Y的独立性.区域D的面积为1,故(X,Y)的概率密度为1,(,)(,)0,(,)xyDfxyxyD10()0yyEXdyxdx102()3yyEYdyydx解()()()EXYEXEY0XY即X与Y不相关.1,102,01(2)()1,01()0,0,XYxxyyfxxxfy其他其他因为f(x,y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立.10()0yyEXYdyxydx.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设YXρσσμμNYX解2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf由,,21)(21212)(1xeσxfσμxX.,21)(22222)(2yeσyfσμyY例4.)(,)(,)(,)(222121σYDσXDμYEμXEyxyxfμyμxYXdd),())((),Cov(21而xyeeμyμxρσσσμxρσμyρσμxdd))((1212112222121)1(212)(21221,1111222σμxρσμyρt令,11σμxuuteuσρσtuρσσYXtudd)1(21),Cov(2222122122teueuσρσtudd22222122tteueuρσσtudd212222122,22221σρσ.),Cov(21σρσYX故有.)()(),Cov(YDXDYXXY于是　　结论;,)1(的相关系数与代表了参数中二维正态分布密度函数　　　YXρ.)2(相互独立与等价于相关系数为零与二维正态随机变量　　　YXYX课堂练习1、设随机变量(X,Y)具有概率密度1()02,02(,)80xyxyfxy其它(),(),(,),()EXEYCovXYDXY.求2、设且X与Y相互独立.22~(,),~(,)XNYN，其中α和β是不全为零的常数.12ZXYZXY试求和的相关系数.1、解:715()(),(,),()6369EXEYCovXYDXY2、解:2()()DXDY222221()()()()()DZDXYDXDY222222()()()()()DZDXYDXDY1222122212(,)()()ZZCovZZDZDZ12(,)(,)CovZZCovXYXY22(,)(,)CovXXCovYY22()()DXDY222()