浅析常微分方程的常数变易法

2012.07（，010051）：；；；：2012-06-12：2012-07-12：，，，，，，，。，，。：0，，．．，，，。。，，，，。，C，。，。1：y'+P（x）y=Q（x）（1），P（x）Q（x）x，Q（x）。Q（x）=0，（1）：y'+P（x）y=0（2）[1]。（1），。2[1]：（2），：y=Ce-乙P（x）dx（3）C。CC（x），（1），C（x），，：y=C（x）e-乙P（x）dx（4）（1），：y'+P（x）y=C'（x）e-乙P（x）dx-C（x）P（x）e-乙P（x）dx+C（x）P（x）e-乙P（x）dx=C'（x）e-乙P（x）dx=Q（x）：C'（x）=Q（x）e乙P（x）dx：C（x）=乙Q（x）e乙P（x）dxdx+CC，C（x）（4），（1）：髽2012.07y=e-乙P（x）dx［乙Q（x）e乙P（x）dxdx+C］（5），，。，，，CC（x），？，。3（1），“”，[2]？（1）：dyy=Q（x）ydx-P（x）dx，：乙dyy=lny=乙Q（x）ydx-乙P（x）dx（6）（6）y，x，x，F（x），：lny=F（x）-乙P（x）dxy=eF（x）·e-乙P（x）dx（7）C（x）=eF（x），（7）：y=C（x）e-乙P（x）dx，（2）（3）CC（x），（1）。“”。1y'+2ytanx=3x2cos2x。：。：y'+2ytanx=0。1ydy=-2tanxdx，：lny=2lncosx+lnC：y=Ccos2xy=C（x）cos2x，：y'=C'（x）cos2x-2C（x）cosxsinxy，y'，：y'+2ytanx=C'（x）cos2x=3x2cos2x：C'（x）=3x2C（x）=x3+C，，：y=（x3+C）cos2xC。4，[3]？，。：y″+py′+qy=f（x）（8），pq，f（x）。f（x）=0，（8）：y″+py′+qy=0（9）[1]。（9）：y=C1y1（x）+C2y2（x）（10）C1，C2，y1（x）y2（x）（9）。C1，C2C1（x）C2（x），（8），C1（x）C2（x）。，：y=C1（x）y1（x）+C2（x）y2（x）（11）：y′=C1′（x）y1（x）+C1（x）y1′（x）+C2′（x）y2（x）+C2（x）y2′（x）（12）C1（x）C2（x），：C1′（x）y1（x）+C2′（x）y2（x）=0（12）：y′=C1（x）y1′（x）+C2（x）y2′（x）（13）：y″=C1′（x）y1′（x）+C1（x）y1″（x）+C2′（x）y2′（x）+C2（x）y2″（x）（14）（11）、（13）（14）（8），C1（x）［y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）］+C2（x）［y2″（x）＋py2′（x）＋qy2（x）］+C1′（x）y1′（x）+C2′（x）y2′（x）=f（x）y1（x）y2（x）（9），：C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）=f（x）（11）（8），C1（x）C2（x）髾2012.07AnalysisofVariationofConstantsMethodofOrdinaryDifferentialEquationsGAOFei-fei（CollegeofStatisticsandMathematics,InnerMongoliaUniversityofFinanceandEconomics,Hohhot010051)Keywords:OrdinaryDifferentialEquations;VariationofConstantsMethod;GeneralSolution;SpecialSolutionThevariationofconstantsmethodisaneffectivewaytosolvethefirst-orderlinearnon-homo-geneousdifferentialequation,butmosttextbooksonlyexplaintheuseofmethod,didnotgivetheoriginofthismethod.Discussestheoriginofthevariationofconstantsmethod,promotesandenhancestheunderstandingandgraspofthevariationofconstantsmethod.Abstract:：C1′（x）y1（x）＋C2′（x）y2（x）＝0C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）＝f（x!）（15）C1′（x）C2′（x），y1（x）y2（x），C1′（x）C2′（x），C1（x）C2（x），（8）。（8）（10）。2y″-2y′+y=xex：。r2-2r+1=0r1=r2=1，：y=（C1+C2x）exC1，C2。：y=C1（x）ex+C2（x）xex（15），：C1′（x）＋xC2′（x）＝0C1′（x）＋C2′（x）（1+x）＝!x：C1′（x）=-x2，C2′（x）=x：C1（x）=-13x3，C2（x）=12x2：y=-13x3ex+12x3ex=16x3ex：y=（C1+C2x+16x3）exC1，C2。（8），。，（15），C1′（x）C2′（x）C1（x）C2（x），，。，。[1].（3）[M].：，1978[2].[J].，1999，S2[3].[J].（），1991,02趤趭