神奇的多边形内切圆与外接圆

1神奇的多边形内切圆与外接圆作者：王森淼组长：王临沨多边形与其外接圆、内切圆都有着神奇的关系。今天，我们就来深入研究一下。内切圆：在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与多边形内部的一个圆形相切，该圆就是多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。圆亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。（如右图）其中，三角形一定有内切圆，正多边形有内接圆，其他的图形不一定有内切圆。因为其他的图形内角角平分线不一定交于一点。且内切圆圆心定在多边形内部。外接圆：在数学中，一个二维平面上的多边形的外接圆是一个使得该多边形的所有顶点都在其上的圆形，这时称这个多边形为圆内接多边形，外接圆的圆心被称为该多边形的外心。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。（如右图）一个多边形只有一个外接圆，也就是说对于一个多边形，它的外接圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有外接圆。三角形和正多边形一定有外接圆。为了全面、深入、系统地研究内切圆、外接圆与多边形之间的关系。我们分为四个部分进行研究。1、任意三角形内切圆、外接圆与三角形之间的关系2、正n边形内切圆、外接圆与正n边形之间的关系3、圆的外切正n边形、内接正n边形之间的关系4、圆周率的推导一、任意三角形内切圆、外接圆与三角形之间的关系：1、求任意三角形的内切圆半径r为了找出内切圆与所在三角形的面积关系，我们做出了如下研究：,,,,,2222ABCABOBCOCAOABCABCOABCrAOBOCOABOBCOCAOSSSSarbrcrSSrabc如图，在中，圆为的内切圆，半径为连结得到有∴∴cabrBACacbroBCAcabOABC22Srabc根据∵a+b+c一定∴内切圆半径r与三角形面积S成正比∵周长一定时，等边三角形面积S最大∴r最大由此，我们可以得出：周长一定时，等边三角形的内切圆面积最大。2、求任意三角形的外接圆半径r因为若要证明出外接圆半径公式，需要用到正弦公式所以我们要先证明正弦定理（这只是一部分，在任意三角形外接圆半径计算公式中，还有后半部分）。（1）、正弦公式证明1,sin,sin,sinsin,,,sinsin,sinsinsinABCchhhBAabaBbAabABabcABC证明1：任意作的高，由正弦的定义可知,因此,所以同理，可知正弦公式（2）、任意三角形外接圆半径计算公式如图，延长BO交外接圆于A´,延长AO交外接圆于P,,,2,22'','2''OAOBOCOABOBAOACOCABOPOABCOPOACBOCAOCOAAOCABOCAOCAAAA∵∴而∴∵∴∴∴'90,sin''22sinsinsinsin'2sinACBaaAABrabcarABCAarA前面已证明，由正弦定义可知我们同样可以通过同弧内圆周角相等，来证明∠A=∠A’2sinsinsinabcrABCcba654321PA'OBACcabhDABC3二、正n边形内切圆、外接圆与正n边形之间的关系R12nAOCOBOACAOBBOCAOC已知在正边形中，内切圆半径r，外接圆半径，则如图，三、圆的外切正n边形、内接正n边形之间的关系如图，图中有一个圆和两个正n边形，这个圆是大正n边形的内切圆，是小正n边形的外接圆。那么，这两个正n边形的面积之比如何求出呢？我们须先找出正n边形的面积公式。,12360180AOBOrAOBOOFABAOFBOFAOBAFBFAOBnAOFn如图，已知多边形边数nRrBOCArFAEDBOC422180222sin180()cos()111801802sincos22180180sincos180180sincosABOnAFABAFrrrnOFOFrrrnSABOFrrnnrnnSnrnn正边形如图所示，ABCDE为圆的外切正n边形，FGHIJ为圆的内接正n边形由前面可知：2122180180sincos180180sincosSnmnnSnmnn外切正n边形内接正n边形2222222112180180sincos180180sincos180180sincos180cosSnmnnnmSnnmSmnmnnn内接正n边形内接正n边形外切正n边形四、圆周率的推导前面已经证明：圆的内接正n边形的边长1802sinABrn所以：圆的内接正n边形的周长1802sinCnrnm2m1GHIJFABCEOD5当圆的内接正n边形的边数越来越大，它的周长越接近圆周长。圆周率1802sin180sin2nrnnrn圆周长直径当n=6时，61806sin3.00006当n=18时，1818018sin3.12566718当n=180时，180180180sin3.141433180当n=1800时，18001801800sin3.1415911800当n=1800时，1800018018000sin3.141592618000圆周率是个无限不循环小数，随着n值的逐渐增大，它的精确度也就越来越高。祖冲之在没有三角函数的时候就能把圆周率算到3.1415926至3.1415927之间，很了不起！感谢：维基百科、百度百科