高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件

必修四第一章三角函数月盈则亏是周期现象钱塘江一线潮由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。1.1.1任意角的概念1、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是：0º至360º。然而生活中有很多实例的角会不在该范围：体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080º（“转体3周”）；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子中有的角不仅不在范围：0º至360º，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．BAO⑵．“正角”与“负角”、“零角”我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终边重合。角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.3．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）例如：30、390、330是第一象限角，300、60是第四象限角，585、1300是第三象限角，135、2000是第二象限角等4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=－1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=－5)⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。⑷注意以下四点：①k∈Z，K0，表示逆时针旋转，K0,表示顺时针旋转.②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+k·360º；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º，∴－120º的角与240º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=280º+1×360º，∴640º的角与280º的角终边相同，它是第四象限角．即：[00,3600)⑶解：∵－950º12’=129º48’+（-3）×360º，∴-950º12’的角与129º48’的角终边相同，它是第二象限角．(3)－950º12′.例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=60º+k·360º，k∈Z},S中在－360º～720º间的角是0×360º+60º=60º；－1×360º+60º=－300º；1×360º+60º=420º．(2)S={β|β=－21º+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)S=｛β|β=363º14’+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是0×360º+363º14’=363º14’；－1×360º+363º14’=3º14’；－2×360º+363º14’=－356º46’．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.•终边落在坐标轴上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+K·360°•第一象限的角表示为{|k36090+k360,kZ}；•第二象限的角表示为{|90+k360180+k360，kZ}；•第三象限的角表示为{|180+k360270+k360，kZ}•第四象限的角表示为{|270+k360360+k360，kZ}例4、写出终边落在y轴上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°•例4解：终边落在ｙ轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为S1，S2•S1={β|β=90º+K∙360º,K∈Z}S2={β|β=270º+K∙360º,K∈Z}={β|β=90º+180º+K360º,K∈Z}={β|β=90º+（2K+1）∙180º，K∈Z}即：S2={β|β=90º+180º的奇数倍}同理S1={β|β=90º+180º的偶数倍}终边落在ｙ轴上的角的集合为S=S1∪S2S={β|β=90º+K∙180º，K∈Z}课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90oBβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90ºβα135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º）范围内，终边与角的终边相同的角为______________;3解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.3当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.