选修4-4第一讲-4简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程

选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系三.简单曲线的极坐标方程在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；2、设P(ρ，θ)为所求曲线上的任意一点；3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；5、检验并确定所得方程即为所求。探究:直线的极坐标方程思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？4M45°xON射线OM：；4射线ON：；544和54思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是什么？M45°xON()4R或5()4R和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0可以考虑允许极径可以取全体实数。思考：设点P的极坐标为A，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。(,0)all解：如图，设点(,)M为直线上异于P的点l连接OM，﹚oMxp在中有MOPsin()sin()a即sin()sina显然P点也满足上方程。探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？Mρθ当a＞0时，ρcosθ＝a；xOAxOAMρθ当a＜0时，ρcosθ＝－a.求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。(2,)4A变题、求过点平行于极轴的直线。OBAM(，)(,)MlA解：如图，设是直线上除点外的任意一点(2,)2sin244AMBsin,sin2RtOMBMBOM在中，即sin2故所求直线方程为x(2,)4A可以验证，点的坐标满足上式，几种特殊的直线的极坐标方程：cosa1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：cosa2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐标方程：sina3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：sina思考4：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11解：如图，设点(,)M点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知,OMxOM1OP1xOP设直线L与极轴交于点A。则在MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是它的解。练习：1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：（1）过极点倾斜角是的直线；3（2）过极点（2，），并且和极轴垂直的直线；3（3）圆心在A（1，），半径为1的圆；4（4）圆心在（a，），半径为a的圆。32B练习：2.两条直线与的位置关系是（）cos()asin()aA、平行B、垂直C、重合D、平行或重合sin2cos2cos4cos4ABCD、、、、3.在极坐标系中，与圆相切的一条直线的方程是（）4sinB12121212AllBllCllDll、平行、、与重合、和斜交B4.直线和的位置关系是（）sin()a25.求过A（-2，3）且斜率为2的直线的极坐标方程。.sin2)3();(65)2(;5)1(R***练习***6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图.7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：.16)4(;0132)3(;02)2(;4)1(22yxyxyx.sin4cos2)4(;cos10)3(;04)sin5cos2()2(;2sin)1(8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：9.已知直线的极坐标方程为求点A（2，）到这条直线的距离.2sin()4274理论迁移例1在极坐标系中，已知两曲线C1：和C2：ρ＝4cosθ有公共点，求实数m的取值范围.cos()3mm∈[－1，3]例2在极坐标系中，已知点A(2，0)，点P在曲线C：上，求|PA|的最小值.222cossin22例3在直角坐标系中，过原点O作椭圆3x2＋y2＝1的两条互相垂直的弦AB，CD，求|AB|2＋|CD|2的取值范围.xyOABCD16[4,]3例4过原点作直线l，分别交圆x2＋y2－2ax＝0和x2＋y2－3ax＝0于A、B两点，在线段AB上取一点M，使|BM|＝2|AM|，求点M的轨迹方程.2270(0)3xyaxxABOMxy小结：直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度