人教版七年级数学下册8.4-三元一次方程组的解法

8.4三元一次方程组的解法R·七年级下册情景导入前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？提问这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.可以设3个未知数吗？•学习目标：1．知道什么是三元一次方程组.2．会用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组.3.通过解三元一次方程组进一步体会消元思想.学习重、难点：重点：用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组，进一步体会消元思想.难点：根据方程组的特征寻找合适的消元途径.探究新知知识点1三元一次方程组的概念和解法问题小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张？（1）题目中有几个未知量？（2）题目中有哪些等量关系？（3）如何用方程表示这些等量关系？思考解答，12zyx，2252zyx4．xy设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．你能说说什么叫三元一次方程组吗？问含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．小结，12zyx，2252zyx4．xy怎么解呢？你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？问，12zyx，2252zyx4．xy①②③41242522yyzyyz，．将③代入①②，得解答为什么要用③代入，而不用①②代入？问即5126522，．yzyz解三元一次方程组的基本思路是什么？思考通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元3472395978xzxyzxyz，，．例1解三元一次方程组对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？问①②③方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组.解：②×3+③，得11x+10z=35.④①与④组成方程组347111035xzxz，．解得52xz，．把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，所以.31y还有其他解法吗？知识点2解较复杂的三元一次方程组例2在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.分析已知条件，你能得到什么？问042325560abcabcabc，，．042325560abcabcabc，，．怎么解？1.先消去哪个未知数？为什么？问2.选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？解：根据题意，得三元一次方程组042325560abcabcabc，，．②-①，得a+b=1;④③-①，得4a+b=10;⑤①②③④与⑤组成方程组1410abab，．解这个方程组，得32ab，．代入①，得c=-5.因此325abc，，．答：325abc，，．可以消去a吗？如何操作？问633bc，21bc．302460bc，.1045cb可将②-①×4，得即再将③-①×25，得即④⑤可以消去b吗？如何操作？问可将①×2+②，得即再将①×5+③，得即633ac，21ac．30660ac，510ac．④⑤练习1.解下列三元一次方程组：34(2)23126xyzxyzxyz，，．29(1)3247xyyzzx，，．①②③①②③解：(1)②×2+③得x+2y=53.④④+①得x=22.代入④得y=1152．代入②得z=1122．∴原方程的解是22,115,21122xyz．解：(2)①+②得5x+2y=16.④②+③得3x+4y=18.⑤⑤-④×2得x=2.代入④得y=3.∴原方程的解是2,3,1.xyz把x=2，y=3代入③得z=1.2.甲乙丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的，求这三个数.1312解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，则35,25,1132xyzxyyz．解得1015,10xyz．∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.误区两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行错解②-①，得y-3z=-12.④③+②，得3x-y=3.⑤④和⑤组成的还是三元一次方程组，不能往下解了.解方程组215,23,230xyzxyzxyz．①②③正解②-①，得y-3z=-12.④②×2-③，得7y-3z=6.⑤④和⑤组成方程组312,736,yzyz3,5.yz解得代入①，得x=2，所以原方程的解为2,3,5.xyz错因分析本题错在解题过程中，通过②-①，得到y-3z=-12之后，发现②③两个方程中z的系数互为相反数，就消去z，从而导致不能顺利消元得到二元一次方程组，造成解题无法进行.解三元一次方程组的基本思想是消元，每个方程最多使用两次，首先要观察方程组，确定消去哪一个未知数，得到关于另两个未知数的方程组，然后解这个二元一次方程组.基础巩固随堂演练1.对于方程组此二元一次方程的最优的解法是先消去（）转化为二元一次方程组.CA.xB.yC.z2x+3y=5，2x+y+z=6，3x-2y-z=-2，D.都一样综合运用2.解方程组解：①+②×2，得8x+13z=31.④②×3-③，得x+2z=5.⑤2x+4y+3z=9,①3x-2y+5z=11,②5x-6y+7z=13.③④与⑤组成方程组8+13=31,+2=5.xzxz解得=1,=3.xz代入①，得1.2y∴原方程组的解为=1,1,23.xyz2.解方程组2x+4y+3z=9,①3x-2y+5z=11,②5x-6y+7z=13.③课堂小结三元一次方程组定义含未知数的项的次数都是1含有3个未知数解答思路化“三元”为“二元”一共有三个方程2,20,9311.4293abcabcabcabc拓展延伸解：根据题意，得三元一次方程组6,11,3.abc在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，y=20;当与时，y的值相等，求a、b、c的值.32x13x解得1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业教学反思本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.习题8.4复习巩固1.解下列三元一次方程组：4912(2)32119754xyyzxz，，．27(1)5322,344yxxyzxz，．①②③①②③解：(1)①代入②得：11x+2z=23.④④×2+③得：x=2，代入④得z=12．代入①得y=-3.∴原方程的解为2,3,12xyz．解：(2)①-②×3得4x+6z=9.④③×6-④×5得x=代入③得z=2.34．代入②得y=53．∴原方程的解是3,45,32xyz．2.解下列三元一次方程组：2439(2)3251156713xyzxyzxyz，，．4917(1)31518,232xzxyzxyz，；①②③①②③解：(1)②×2-③得5x+27z=34.④④+①×3得x=5.代入①得z=13．代入③得y=-2.∴原方程的解是5,2,13xyz．解：(2)①+②×2得8x+13z=31.④②×3-③得x+2z=5.⑤⑤×8-④得z=3.代入⑤得x=-1.∴原方程的解是1,1,23.xyz把z=3，x=-1代入①得y=1.2综合运用3.一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位，十位上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.解：设这个三位数的百、十、个位上的数分别为x、y、z，则,72,14xzyxyzxyz．解得27,5xyz．∴2×100+7×10+5=275，即这个三位数为275.4.解方程组xyyzxyz:3:2:5:4,66，.①②③解：由①得x:y=3:2=15:10由②得y:z=5:4=10:8，∴x:y:z=15:10:8.设x=15a，则y=10a，z=8a，3020,16xyz．代入③得a=2，拓广探索2,20,9311.4293abcabcabcabc解：根据题意，得三元一次方程组6,11,3.abc在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，y=20;当与时，y的值相等，求a、b、c的值.32x13x解得5.