高考理科数学必会知识点总结(PDF版)

1高考理科数学必会知识点总结§1集合与简易逻辑一、集合间的关系及其运算（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）AB=；AB=；UCA=.（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A、B，();()UUUUUUCABCACBCABCACB切记：ABABAABABB.（4）集合中元素的个数的计算：若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是(2n－1)，所有非空真子集的个数是(2n－2)。二、常用逻辑用语：1、四种命题：⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。2、注意命题的否定与否命题的区别：命题pq否定形式是pq；否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.3、逻辑联结词：⑴且(and)：命题形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命题形式pq；真真真真假⑶非（not）：命题形式p.真假假真假假真假真真假假假假真“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”4、充要条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。5、全称命题与特称命题：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。全称命题p：)(,xpMx；全称命题p的否定p：)(,xpMx。特称命题p：)(,xpMx；特称命题p的否定p：)(,xpMx；§2函数和导数一、函数的性质1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；22．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求)(xf；比较)()(xfxf与或)()(xfxf与的关系；Ⅱ.图象法；常用的结论①已知：)()()(xgxfxH若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相同，则在公共定义域内)(xH为偶函数；若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相反，则在公共定义域内)(xH为奇函数；②若)(xf是奇函数，且定义域0，则(0)0f.4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：（1）.定义法步骤①：设2121,xxAxx且；②作差)()(21xfxf（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。另解：设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数.（2）.（多项式函数）用导数证明：若)(xf在某个区间A内有导数，则()0fx'xA)(xf在A内为增函数；()0fx'xA)(xf在A内为减函数.（3）求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．（4）一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：F（x）（增）=)(xf（增）+)(xg（增）；F（x）（减）=)(xf（减）+)(xg（减）；F（x）（增）=)(xf（增）)(xg（减）；F（x）（减）=)(xf（减）)(xg（增）；④一个重要的函数：函数)0,0(baxbaxy在,,baba或上单调递增；在baba，或00,上是单调递减.5．函数的周期性（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立，则()fx叫做周期函数，T叫做这个函数()fx的一个周期.T的整数倍都是()fx的周期。二、函数的图象1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、3（6）三角函数、（7）函数)0,0(baxbaxy.2．图象的变换（1）平移变换①函数()(0)yfxaa的图象是把函数()yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数()(0)yfxaa的图象是把函数()yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的；②函数()(0)yfxaa的图象是把函数()yfx的图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数()(0)yfxaa的图象是把函数()yfx的图象沿y轴向下平移a个单位得到的；（2）对称变换①函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线x=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线y=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于坐标原点对称；②如果函数)(xfy对于一切,Rx都有()fax()fax，那么)(xfy的图象关于直线ax对称；如果函数)(xfy对于一切,Rx都有()()2faxfaxb，那么)(xfy的图象关于点(,)ab对称。③函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线ax对称。④)(1xfy与)(xfy关于直xy对称。（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）三、函数的反函数：1．求反函数的步骤：（1）求原函数)(xfy)(Ax的值域B（2）把)(xfy看作方程，解出)(yx（注意开平方时的符号取舍）；（3）互换x、y，得)(xfy的反函数为)(1xfy)(Bx.2．定理：（1）bafabf)()(1，即点(,)ab在原函数图象上点(,)ba在反函数图象上；（2）原函数与反函数的图象关于直线yx对称.3．有用的结论：原函数)(xfy在区间],[aa上单调的，则一定存在反函数，且反函数)(1xfy也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。四、函数、方程与不等式1．“实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb”，你是否注意到必须0a；当a=0时，“方程有解”不能转化为042acb。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设21,xx为方程)0(,0)(axf的两个实根。①若,,21mxmx则0)(mf；②当在区间),(nm内有且只有一个实根，时，考虑端点，验证端点。)2(0)()()1(nfmf4③当在区间),(nm内有且只有两个实根时，④若qxpnxm21时注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。②注意端点，验证端点。五、指数函数与对数函数1．指数式与对数式：0,1,,0logaabRNbaaNNb对数的三个性质：①0N；②log10a；③log1aa对数恒等式：①logaNaN；②logloglogmamNNa；③loglogmnaanMMm对数运算性质：①log()loglogaaaMNMN；②loglognaaMnM；③logloglogaaaMMNN.(0.1,0,0)aaMN指数运算性质：①rsrsaaa②()rsrsaa③rrrabab0,0,,abrsQ2．指数函数与对数函数（1）特征图象与性质归纳（列表）指数函数y=ax(a0,a≠1)对数函数y=logax(a0,a≠1)特征图象0a1a10a1a1定义域（－∞，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（－∞，+∞）单调性减函数增函数减函数增函数定点（0，1）（1，0）函数值分布x0时，y1；x0时，0y1xo时，0y1；x0时，y10x1时，y0；x1时，y00x1时，y0；x1时，y0（2）有用的结论①函数xya与logayx（0a且0a）图象关于直线yx对称；函数xya与xya（0a且1a）图象关于y轴对称；函数1logayx与logayx（0a且0a）图象关于x轴对称.②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？六、导数：1．几种常见函数的导数(1)0C（C为常数）(2)'1()()nnxnxnQ(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln（6）eaxxalog1)(log(7)xxee)(（8）aaaxxln)(0)(0)(20nfmfnabm()0()0()0()0fmfnfpfq52．导数的运算法则（1）'''()uvuv（2）'''()uvuvuv（3）'''2()(0)uuvuvvvv.3．复合函数的求导法则设函数()ux在点x处有导数''()xux，函数)(ufy在点x处的对应点U处有导数''()uyfu，则复合函数(())yfx在点x处有导数，且'''xuxyyu，或写作'''(())()()xfxfux.4．导数的几何物理意义：（1）几何意义：k＝f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线的斜率。曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为：/000()()()yfxfxxx（2）V＝s/(t)表示即时速度，a=v/(t)表示加速度。5．单调区间的求解过程：已知)(xfy①分析)(xfy的定义域；②求导数)(xfy；③解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本）6．求极大、极小值：已知)(xfy①分析)(xfy的定义域；②求导数)(xfy；③求解方程()0fx（设有根12,,,nxxx）；④列表判断1n个区间内导数的符号，判断12(),(),,()nfxfxfx是否为极值．．．．．，如果是，是极大还是极小值。注：判别)(0xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0x处连续时，（1）如果在0x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0xf是极大值；（2）如果在0x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0xf是极小值.注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝07．求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值：①②③同上；④比较()fa、12(),(),,()nfxfxfx、()fb，最大的为max()fx，最小的为min()fx.注意：极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.§3数列一、数列的定义和基本问题1．通项公式：)(nfan（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；2．前n项和：12nnSaaa