工程硕士概率论第3讲

概率论与数理统计第三讲在实际问题中,除了要考虑某事件A的概率P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。一条件概率I.条件概率的概念通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为P(A|B)。一般情况下，P(A|B)≠P(A)。条件概率P(A)=1/6，如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，求P(A|B)。已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。于是，P(A|B)=1/3。B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。可以得到：.)()(636131)|(BPABPBAP受此启发，对条件概率进行如下定义。若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是就有(1)。II.条件概率定义为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。定义1:设A、B是两个事件，且P(B)0，称)1()()()|(BPABPBAPIII.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)0,则1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(Ω|B)=1；3.设A1,A2,…互斥，则)|()|())|)((2121BAPBAPBAAP由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B),(2),)()()|(BPABPBAP二乘法公式P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)。(3)当P(A1A2…An-1)0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).多个事件乘法公式的推广:显然，有P(A|B)=P(A).这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设三事件的独立性定义：若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，或称A,B独立。两事件独立的定义例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,这说明事件A,B独立。问事件A,B是否独立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，如：一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,则A1与A2独立。其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。其原因是:第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。=P(A)－P(AB)BP(A)=P(A－AB)A与B独立=P(A)－P(A)P(B)证明:仅证A与独立。B定理：若事件A,B独立，则BABABA与与与,,也相互独立。=P(A)[1－P(B)]=P(A)P(),B独立。与故，BA多个事件的独立先将两事件独立的定义推广到三个事件上：对于三个事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立，则称事件A,B,C相互独立。请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?例:三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人分别编号为1,2,3，独立性概念在计算概率中的应用故，所求为P(A1∪A2∪A3)。记Ai={第i个人破译出密码}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3))(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP.6.0)4/3()3/2()5/4(1A1，A2，A3相互独立，例:一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。解：设Ai={第i次取到正品},i=1,2,3。A={第三次才取到正品}。则:。故，0083.0989099910010)|()|()()()(.213121321321AAAPAAPAPAAAPAPAAAA计算n个独立事件并的概率公式:nAAA,,,21…设事件相互独立,则）…nAAAP21(1)(121nAAAP…P(A1∪…∪An))()()(nAPAPAP…211也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。举例……