第18讲・数学一轮课件・2008年全品高考复习方案

第18讲等差、等比数列的性质及应用第18讲等差、等比数列的性质及应用复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结第18讲等差、等比数列的性质及应用复习目标掌握等差（比）数列的基本性质，如（1）“成对和”或“成对积”相等问题；（2）等差数列求和S2n-1与中项an.能灵活运用性质解决有关问题，如（1）分组求和技巧；（2）整体运算教学建议本讲主要内容是利用等差（比）性质进行简捷运算；通过基础训练题，让学生归纳几种常见简捷运算的方法，在后面的例题中再强化与提升.复习目标及教学建议第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案基础训练在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是A．a1+a9=a10，b1·b9=b10B．a1+a9=a3+a6，b1+b9=b3+b6C．a1+a9=a4+a6，b1·b9=b4·b6D．a1+a9=2a5，b1·b9=2b5【解析】当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq，等比数列中有bm·bn=bp·bq.故选CC第18讲等差、等比数列的性质及应用2．等差数列{an}中，前15项和S15=90，a8为A．6B．3C．12D．4【解析】S15==90.又a1+a15=2a8，∴15a8=90，∴a8=6，故选A.【小结】在等差数列Sn中，S2n-1=(2n-1)an.2008高考复习方案A115()152aa第18讲等差、等比数列的性质及应用3．等比数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为A．66B．64C．66D．60【解析】设a1+a2+…+an=A1，2008高考复习方案D第18讲等差、等比数列的性质及应用an+1+…+a2n=A2，a2n+1+…+a3n=A3.可知A1、A2、A3仍是等比数列，由A1=54，A2=6，得A3=，得S3n=A1+A2+A3=60.故选D【小结】体现“分组”思想.2008高考复习方案4．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于75.2323第18讲等差、等比数列的性质及应用【解析】设前n项和，中间n项和，后n项和分别为A1、A2、A3则：A1+A2=100A2+A3=200①+②：A1+2A2+A3=300，即4A2=300∴A2=75.2008高考复习方案第18讲等差、等比数列的性质及应用5．等差数列{an}中，S2=S19d＜0，当n=10或11时Sn最大.【解析】Sn是n的二次函数，由S2=S19知对称轴n==10.5故当n=10或11时，Sn最大.6．已知等差数列{an}中，前三项之和为6，末三项和60，Sn=231，则n=21.2008高考复习方案第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案【解析】（a1+a2+a3）+(an-2+an-1+an）=3(a1+an)=66，a1+an=22，Sn=×n=231，n=21.【小结】巧用求和性质.2anaa第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案1（1）若m+n=p+q，其中m、n、p、q∈N*，则一定有am+an=ap+aq；当m+n=2p时，am+an=2ap（2）若d为{an}的公差，则其子数列为ak，ak+m，ak+2m，…(m∈N*)也成等差数列，且公差为md知识要点第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案（3）间隔等长的连续几项的和构成的新数列仍成等差（4）前n项和是n的二次函数（常数项为0），即Sn=an2+bn，且a=d，b=a1-d（5）奇、偶数项分别求和时，有(a2+a4+…+a2n)-(a1+a3+…+a2n-1)=nd，(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n-2)=an.12122413()()aaaa2n2n-1…a…a第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案2．等比数列的部分项构成的等比数列（1）等比数列中间隔相同的项，仍构成等比数列.a1，a3，a5，…，(奇数项).②a2，a4，a6，…，(偶数项).③a1，a4，a7，….④ap，aq，ar…(其中p、q、r∈N*，p、q、r成等差列).2）等比数列中的部分项之和(或差)可构成等比数列.①a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5.第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案D②a1+a2+a3,a4+a5+a6，a7+a8+a9.③Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N*，Sk为等比数列{an}的前k项和，且Snk-S(n-1)k≠0).④q≠1时，a2-a1，a3-a2，a4-a3等也构成等比数列，且公比为q.第18讲等差、等比数列的性质及应用1．求最值问题例1若{an}为等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0（1）求使Sn＞0的最大自然数n（2）求Sn最大值时的n值.【解析】(1)∵a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0，且{an}为等差数列.2008高考复习方案双基固化第18讲等差、等比数列的性质及应用（2）由已知得n≤2003时，a1，a2，…，a2003均为正数；n≥2004时，a2004，a2005，…均为负数.故n=2003时，S2003最大.2008高考复习方案∴{an}表示a1为正数，公差为负数的递减等差数列，∴a2003＞0，a2004＜0，|a2003|＞|a2004|∴S4006=×4006=而S4007=0∴Sn＞0成立的最大自然数是4006.140062aa2003200440072aa第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案【小结】把an看成n的一次函数，n不加限制的话，要Sn=，即要a＞0，题中可得a2003.5＞0，且a2004＜0S4006=a2003.5×4006＞0.而求Sn最大（小）值时即把{an}中所有正（负）项相加，即n出现在数列正负项交界处.12n+12naa第18讲等差、等比数列的性质及应用2．分组求和，整体运算例2（1）等比数列{an}中q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99（2）等差数列{an}中a9+a10=a，a19+a20=b，求a99+a100（3）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.2008高考复习方案第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案D【分析】（1）要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；（2）由性质知，可将相邻两项和构成新的等差数列，再求其解；（3）此题若选用前n项和公式建立方程组运算量较大，而运用等差数列有关性质，采取整体思维的策略，则可简化计算过程..第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案【解析】（1）∵S99=(a1+a4+…+a97)+(a2+a5+…+a98)+(a3+a6+…+a99)=()·(a3+a6+…+a99)∴a3+a6+…+a99=77=44.（2）将相邻两项和a1+a2、a3+a4、a5+a6、…、a99+a100分别记为b1、b2、b3、…、b50，可知{bn}成等差数列.此数列的公差d==.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.2111qq47105105bb5ba5ba第18讲等差、等比数列的性质及应用2008高考复习方案（3）前12项中偶数项与奇数项和为S偶、S奇依题意得S奇+S偶=354,S偶=192=S奇=162S偶-S奇=6d，∴d=5.【小结】（1）在S99中分成三组求和，三组数列A1、A2、A3（2）分组求和，相邻两项为一组，前100项共分50（3）分奇、偶两组，分组整体求和.ss偶奇3227第18讲等差、等比数列的性质及应用3．等差等比综合问题例3设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn.【分析】由等比中项、等差中项的性质得an+1=，递推出an=(n≥2)，再探求{bn}的递推关系.2008高考复习方案1nnbbnnbb能力提升第18讲等差、等比数列的性质及应用【解析】∵5an，5bn，5an+1，成等比数列，∴(5bn)2=5an·5an+1，即2bn=an+an+1①又∵lgbn，lgan+1，lgbn+1∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bn·bn+1.②由②及ai＞0，bj＞0(i，j∈N*)an+1=∴an=(n≥2)④2008高考复习方案1nnbb+×1nnbb-×第18讲等差、等比数列的性质及应用③④代入①，可得2bn=+（n≥2即2=+（n≥2），∴数列{}为等差数列.∵b1=2，a2=3，a22=b1·b2，∴b2=,∴=+（n-1)(-)=(n+1)(n=1时也成立)，∴bn=2008高考复习方案1nb+1nb-1nnbb-×1nnbb+×nbnb92nb2922122(1)2n第18讲等差、等比数列的性质及应用∴an==(n≥2).又当n=1时，a1=1也成立.∴an=1nnbb-×(1)2nn?22(1)(1)222nnnn