矩阵的对角化

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrixdiagonalizationreferssimilaritymatrixandadiagonalmatrix,Thesimplestformofadiagonalmatrixplaysanimportantroleinmatrixtheory,ThereforeMatrixdiagonalizationproblemisverypracticalvalue.Whethermatrixdiagonalizationmatrixisaveryimportantproperty.Tobesimilartothenecessaryandsufficientconditionforunderstandingkeratosis,hasbeenoneoflinearalgebralearningdifficulties.Atpresentmorecomprehensiveandin-depthstudyofthematrixcanbediagonalizedconditions,matrixmethodsandtheuseofmatrixdiagonalizationdiagonalizationofeverything.Insummarizingthebasisoftheirpredecessors,withthefirstgivendiagonalizationrelatedconcepts,followedbydiscussionofthematrixdiagonalizationofseveralequivalentconditionsand,finally,theapplicationofsomeofthematrixdiagonalization.Keywords:square;characteristicvalue;eigenvectors;diagonalization目录引言................................................................1一矩阵可对角化的概念...............................................21.1特征值、特征向量的概念..................................21.2矩阵可对角化的概念.........................................2二矩阵可对角化的几个等价条件......................................42.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明..........................42.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤........................8三矩阵可对角化的应用...............................................93.1具体矩阵对角化的求解过程....................................93.2矩阵对角化的应用...........................................133.2.1在反求矩阵方面的应用．...............................133.2.2求方阵的高次幂.......................................143.2.3求行列式的值.........................................153.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限...........163.2.5在二次曲面上的一些应用...............................17结论...............................................................19致谢...............................................错误!未定义书签。参考文献........................................................201引言矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：n阶方阵A可以对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量；方阵A可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。2一矩阵可对角化的概念1.1特征值、特征向量的概念定义1设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中的一个数0存在一个非零向量使得0A,那么0称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值0的一个特征向量。求方阵A的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程AE=0求得A的n个特征值，设t,,,21是A的互异特征值,其重数分别为tnnn,,,21则nnnnt21。(2)求解齐次线性方程组0XAEiti,,2,1,其基础解系siiippp,,,21(tinsii,,2,11，)就是A所对应特征值i的线性无关的特征向量。1.2矩阵可对角化的概念定义2设A是数域F上一个n阶方阵，如果存在数域F上的一个可逆矩阵P,使得APP1为对角形矩阵，那么就说矩阵A可以对角化。任意方阵A的每一个特征值i都有一个与之相对应的特征向量iP满足iiiPAPn,1,2,i，则这个方程可以写成nnPPPPPPA,,,,,,2121n21,（1）我们定义矩阵nPPPP,,,21,ndiagB,,,21则（1）式可写成PBAP,若矩阵P是可逆阵，则有ndiagBAPP,,,211引理1设A、B都是n阶矩阵,则有秩AB≥秩A+秩nB①证：00000nnnnnnEEBEBEAEEAAB0=00=+nnEBEAABEABnAB秩秩秩秩（）秩3但注：代数中称①式为Sylverster(薛尔佛斯特)公式引理2设s,,,21(ns)为n阶方阵A的所有互异特征值，则矩阵A的线性无关的特征向量的最大个数为IArIArIArsns21。证明设s,,,21(ns)为n阶方阵A的所有互异特征值，因为特征值is,1,2,i相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组0XIAi的基础解析所含向量的个数，所以特征值nss,,,21相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为IArni，IArn2，…，IArns，而矩阵A的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A线性无关的特征向的最大个数为IArIArIArsns21。引理3设A为n阶方阵,s,,,21是任意两两互异的数,则nsIArIArIArIAIAIArss1][2121。0++EBABAnABABABABn秩秩+秩+秩（）秩秩秩秩秩4二矩阵可对角化的几个等价条件2.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1数域P上n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明（1）充分性假设nPPP,,,21是矩阵A的n个线性无关的特征向量，即有iiiPAPn,1,2,i,令矩阵nPPPP,,,21由特征向量nPPP,,,21组成，因为nPPP,,,21是线性无关的，因此矩阵P是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1P，根据逆矩阵的定义有PP1=nPPPPPP12111,,,，另一方面，由iiiPAP易知,nAPAPAPAP,,,21=nnPPP,,,2211,给此式左乘矩阵1P，则有nIAPP1n21=n21，即充分性得证。（2）必要性令矩阵A和对角形矩阵D相似，即存在可逆矩阵P使得DAPP1,则有PDAP,于是记P=(nPPP,,,21)，TndddD,,,21则PDAP可以写成nAPAPAP,,,21=(nnPdPdPd,,,2211)即有iiiPdAPn,1,2,i,这说明矩阵P的列向量iP是矩阵A的特征向量，而已知P是可逆阵，故P的n个列向量nPPP,,,21线性无关，必要性得证。定理2设nnPA，则A可以对角化的充分必要条件是：(1)A的特征根都在数域P内,(2)对A的每个特征根,有kAEn秩，其中k是的重数。条件(2)也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组0XAE的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有nAnrii1-E秩，即属于A的不同特征根的线性无关的特征向量总数是n。条件(1)，(2)还可改述为:A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n。证明设r,,,21是A的所有不同的特征根,jjtj,,1是齐次线性方程组50XAEjrj,,2,1的一个基础解系，则A的特征向量rrrtrtt,,,,,,,,111111一定线性无关。如果ntttr21,则A有n个线性无关的特征向量,从而A可以对角化。若A可以对角化,则属于A的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n。若不然,则由定理1可设