解三角形边角互化

高中阶段的解三角形一共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三角形的面积公式，没有三角函数的公式多，但是考试时一般会考察这3个定理的变形，必须对这3个定理非常熟悉，才能解题。变形中，最常用的就是“边角互化”，下面重点来介绍一下这个应用。例1、（2016桂林一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，，，若b∈[1,3]，则c的最小值为（）A、2B、3C、D、分析：从题目条件看，第一个式子很明显要进行转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成角，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式子麻烦，而且我们也没见过，，式子越来越复杂，所以放弃；继续观察，等号左边的分式分子分母都含有这几个角的正弦，但是并不是齐次式，分子是1次，分母是2次，能统一都变了吗？我们可以稍微试一下，先把分子上的正弦变为对应的边，分母只能变一个，会发现式子变为或者是，那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分子与余弦定理很像，再联系一下余弦定理，我们知道，肯定选择前面的式子，往余弦定理去扣就可以了。答案：选择B.注：齐次式，齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思。例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=()A、6B、4C、2D、1分析：本题有2个式子，两个式子都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式子是可以进行化简的，左边的式子进行展开即可，化简为：SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC=3cosAsinC，此时就可以进行边角互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系，，化简可得：，与第一个式子联立，可以得出b值。答案：选择C.例3、（2015闵行区一模）△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，满足，则角A的范围是（）分析：边角互化不仅在等式、分式中可以用，在不等式中也可以用。在这道题目中，不能直接用，因为如果直接变，只能是变成正弦，然后再进行化简，难度会增大，所以，第一步，是先化简式子。通过不等式，可以知道，不等号两边分式的分子分母都是正的，所以可以直接交叉相乘，得（a-b+c）(a+b-c)≤bc，所以化简为，此时就明显了，可以利用余弦定理进行化简即可。答案：选择B。总结：1，当题目中出现关于边角的分式，等式或不等式时，这写式子一般是关系，而不是具体的值，此时就要考虑是否应用边角互化；2，边角互化的原则是：化繁为简，化未知于已知；3，更多的时候是采用正弦定理进行化简，尤其是出现齐次式的时候，当出现与余弦定理相关的式子之后，比如上面例3中的，才会用余弦定理；4，如果式子的坐标都是边，右边是余弦值，左边的式子又明显不是余弦定理时，此时一般会把右边的余弦值化为角。上面4条，是在做题的过程中总结出来的，同学们在做题的时候可以验证一下！