固体物理作业5电子气的动能

固体物理调研报告1、电子气的动能。试证在0K温度下含N个自由电子的三维气体的动能为𝑈0=35𝑁∈𝐹解：T=0K时体积V中N个自由电子的总能量为𝑈0=2∑h2𝑘22𝑚𝑘𝑘𝐹,因子2是由于每一k状态可容纳2个自旋相反的电子，kF为弗米波矢。因为k空间中每单位体积所允许的状态数为𝑉8𝜋3，所以每一允许的k值在波矢空间中所占的体积为∆3k=8𝜋3/𝑉,在∆3k→0的极限下，对k的求和可改为对k积分，即𝑈0𝑉=28𝜋3∫𝑑3𝑘𝑘𝐹kh2𝑘22𝑚=1𝜋2ℎ2𝑘𝐹510𝑚另一方面，在弗米球内所允许的电子总数为N=2(4𝜋3𝑘𝐹3)(𝑉8𝜋3)=𝑘𝐹33𝜋2V代入上式得𝑈0=35𝑁h2𝑘𝐹22𝑚=35𝑁∈𝐹2、电子气的压力和体积弹性模量。(a)试推导在0K下联系电子气的压力和体积的关系式。提示:利用习题1的结果以及∈𝐹和电子浓度之间的关系，结果可以写作p=23(𝑈0/𝑉)。（b）证明电子气的体积弹性模量B=-V（∂p/∂V)在0K下为B=5p/3=10𝑈0/9V。（c）利用表1，对于钾估计电子气对B的贡献之值。解：（a）0K时电子气体的基态能量为𝑈0=35𝑁∈𝐹，其中∈𝐹=h2𝑘𝐹22𝑚=h22𝑚（3𝜋2𝑁𝑉）23由此可计算压强：P=-（𝜕𝑈0𝜕𝑉）N=-35N（𝜕∈𝐹𝜕𝑉）N=23(𝑈0/𝑉)（b）0K时的体积模量为B=-V（𝜕𝑝𝜕𝑉）=-V𝜕𝜕𝑉(23𝑈0𝑉)=-V𝜕𝜕𝑉[𝑁ℎ25𝑚（3𝜋2𝑁𝑉）231𝑉]=53p=109𝑈0𝑉(c)由（b）得B=23𝑛∈𝐹=(6.125𝑟𝑠′)^5×1010,对于钾，𝑟𝑠′=4.86代入上式B≈3.18×1010dyn/c𝑚23、二维情况下的化学势。若单位面积有n个电子，试证二维情况下费米气的化学势由下式给出：μ(T)=𝑘𝐵Tln[exp(πnℎ2/𝑚𝑘𝐵𝑇)−1]解：二维自由电子气体，在π𝑘2弗米圆内，k的允许状态数为π𝑘2（𝐿2𝜋）2，考虑到自旋，有N=2π𝑘2𝐴4𝜋2=𝑘22𝜋𝐴A=𝐿2为面积，浓度与能量关系：n=𝑁𝐴=𝑘22𝜋=𝑚𝜋ℎ2∈;状态密度为D（ϵ）=𝑑𝑛𝑑𝑒=𝑚𝜋ℎ2化学势μ(T)可由下式决定n=∫𝑑𝜖𝐷(𝜀)𝑓(𝜀)∞0=𝑚𝜋ℎ2∫𝑑𝜀𝑒(𝜀−𝜇)𝑘𝐵𝑇+1∞0=𝑚𝑘𝐵𝑇ℎ𝜋2∫𝑑𝑥𝑒𝑥+1∞−𝜇𝑘𝐵𝑇=𝑚𝑘𝐵𝑇ℎ𝜋2ln（1+𝑒𝜇𝑘𝐵𝑇）,由此得化学势为μ(T)=𝑘𝐵Tln[exp(πnℎ2/𝑚𝑘𝐵𝑇)−1]