信号与系统微分算子方程

第二章连续信号与系统的时域分析1微分算子和积分算子1()tdpdtdpp称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。系统的微分算子方程第二章连续信号与系统的时域分析例：第二章连续信号与系统的时域分析以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。)()2)(2()()4()()65()()3)(2(22tfpptfptypptypp设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则)()()()()()(tfpApBtfpBpA性质1性质2微分算子的运算性质第二章连续信号与系统的时域分析微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。)()(tpftpy不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。ctfty)()(也不能由方程)()()()(tfaptyap通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)性质3例如，方程第二章连续信号与系统的时域分析性质4设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式A(p)A(p)D(p)()=()D(p)B(p)B(p)ftftA(p)A(p)D(p)()()B(p)D(p)B(p)ftft但是第二章连续信号与系统的时域分析2LTI系统的微分算子方程对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为()(1)(2)(1)1210()(1)(2)(1)1210()()()()()()()()()()nnnnnmmmmmmytaytaytaytaytbftbftbftbftbft121210121210()()nnnnnmmmmmmpapapapaytbpbpbpbpbft用微分算子P表示可写成或缩写为00()()nmijijijapytbpft第二章连续信号与系统的时域分析0()niiiApap0()mjjjBpbp()()()()ApytBpft()()()()()()BpytftHpftAp121210121210()()()mmmmmmnnnnnbpbpbpbpbBpHpAppapapapa微分算子方程传输算子第二章连续信号与系统的时域分析传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。H(p)f(t)y(t)用H(p)表示的系统输入输出模型()()()()()()BpytftHpftAp第二章连续信号与系统的时域分析例1：设某连续系统的传输算子为322()234pHpppp写出系统的输入输出微分方程()()()()()()BpytftHpftAp第二章连续信号与系统的时域分析∫∫＋y(t)f(t)－5－3＋－24x(t)x(t)′x(t)″例2：已知系统框图，求系统的传输算子。解设中间变量x(t)，左端加法器列方程()'()3()()xtxtxtft)(4)('2)(txtxty右端加法器第二章连续信号与系统的时域分析电路系统算子方程的建立表2.2电路元件的算子模型在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。第二章连续信号与系统的时域分析3：零输入响应01110111)()()(apapapbpbpbpbpApBpHnnnmmmm设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且系统的特征多项式y(t)和f(t)满足的算子方程为)()()()(tfpBtypAyx(t)满足的算子方程为0)()(typAx0t()0Ap系统的特征方程：第二章连续信号与系统的时域分析简单系统的零输入响应简单系统1若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt简单系统2若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)eλt。第二章连续信号与系统的时域分析例某系统输入输出微分算子方程为)()3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()()1(ttxxxetccectytyty221201021)()()()(第二章连续信号与系统的时域分析其一阶和二阶导函数为'221021202122102120221021212022102120()2()(12)2()22[(12)2]4(1)4tttxttttttxtttytcececctecetceceytcecetccecetcecettxxxetccectytyty221201021)()()()(令t=0-,并考虑到y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13代入初始条件值并整理得102010'1021202021102120(0)3c=1(0)26c=2c=-1(0)4413xxxyccycccycccttxetety2)2()(0t第二章连续信号与系统的时域分析第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t)itririiiixiiietctctccty][)(1)1(2210li,....,2,1第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输入响应，即lixixtyty1)()(0t第四步，由给定的零输入响应初始条件或者0-系统的初始条件，确定常数)1,,1,0)(0()(njyjx).,,2,1(,1,,)1(10liccciriiiliriippA1)()(第一步，将A（p）进行因式分解，即一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：第二章连续信号与系统的时域分析4：基本信号δ(t)激励下的零状态响应1.冲激响应一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图所示：LTI系统H(p)h(t)δ(t)x(0－)＝0第二章连续信号与系统的时域分析2.冲激响应的计算设LTI连续系统的传输算子为H(p)，H(p)→h(t)简单系统1pKpH)()()(tuKetht第二章连续信号与系统的时域分析简单系统22)()(pKpH()u()thtKtet将上面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r重根的情况()()()()!()rtrKKHphtteutrp11简单系统3nKppH)(()()()nhtKt第二章连续信号与系统的时域分析综上所述,可以得到系统冲激响应的一般步骤是：第一步：确定系统的传输算子H(p);第二步：将H(p)进行部分分式展开写成如下形式：第三步：根据H(p)公式求解第四步：将所有相加，得到系统的冲激响应(p)(p)qliiirjijjKHKp11(t)ih(t)ih第二章连续信号与系统的时域分析例2.5-4已知某连续系统的微分方程为)(3)('2)(2)('3)(tftftytyty若系统的初始条件y(0-)=y′(0-)=1，输入f(t)=e-tε(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。解第二章连续信号与系统的时域分析(2)求零状态响应(3)完全响应()()()xfytytyt(t)(e)u(t)tthe2()f(t)*h(t)u(t)*(e)u(t)u(t)(e)u(t)tttftttyteetee22系统的零状态响应第二章连续信号与系统的时域分析例:描述某LTI系统的微分方程为)(6)('2)(2)('3)(tftftytyty已知求该系统的零输入响应和零状态响应。()(),(0)3,'(0)1,ftutyy第二章连续信号与系统的时域分析第二章连续信号与系统的时域分析A(p)=p2+3p+2，可得系统的零输入响应为代入初始条件值，有联立求解得c10=5,c20=-22()520ttxyteet