江苏省如皋中学2019-2020学年度高三第二学期期初调研考试数学试题含附加题

高三数学第1页共19页江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知(1i)z1i（i为虚数单位），则复数z的模为▲．2．已知集合212,ABaa，-，，若1ABI,则实数a的值为▲．3．已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取▲名学生．4．从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为▲．5．某程序框图如右图所示，当输入7x时，输出的y▲．6．已知双曲线22213xyb的两条渐近线与直线3x围成正三角形，则双曲线的离心率为▲．7．已知变量,xy满足约束条件0,02xyxy，，则2yx的最大值为▲．8．已知为锐角，且1cos()63，则sin▲．9．已知正四棱柱1111ABCDABCD中12,3ABAA，O为上底面中心．设正四棱柱1111ABCDABCD与正四棱锥1111OABCD的侧面积分别为12,SS，则21SS▲．10．已知等比数列na的前n项和为nS，且434322+1,2232SSaaa，则1a▲．11．已知圆22420Cxyxy：，过点(6,0)P的直线l与圆C在x轴上方交于,AB两点，且3PAPB，高三数学第2页共19页则直线l的斜率为▲．12．若2,0xy，且211xy，则1121xy最小值为▲．13．已知ABC中，2,1ABAC，平面ABC上一点D满足3BCADuuuruuur，则()BCBDCDuuuruuuruuur▲．14．已知32()3fxxaxa，若存在1,1x，使得()0fx成立，则实数a的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知2()4sinsin()cos242xfxxx．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()(2),0,62gxfxx的值域．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PADABCD面，三角形PAD为正三角形．（1）若,EF为,PBCD中点，证明：//EFPAD面；（2）若90PAB，证明：面PADPAB面．FEPDCBA高三数学第3页共19页高三数学第4页共19页17．(本小题满分14分)过椭圆22182xy上一点(2,1)P作两条直线12,ll与椭圆另交于,AB点，设它们的斜率分别为12,kk．（1）若121,1kk，求PAB的面积PABS；（2）若,OAOBPAPB，求直线AB的方程．18．(本小题满分16分)从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设OAB，五个正方形的面积和为S．（1）求面积S关于的函数表达式，并求tan的范围；（2）求面积S最小值．图1图2OBA高三数学第5页共19页19．(本小题满分16分)若函数()yfx的图像上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数()yfx图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sinfxx图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）（2）证明：函数g()ln(2)2xxx图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数h()e2(R)xxmxm图像上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列,,nnnabc满足：2nnnbaa，1232nnnncaaa．（1）若nb是等差数列，且公差1121dbaa，求数列nc的通项公式nc；（2）若nb、nc均是等差数列，且数列nc的公差1136,19dac，求数列na的通项公式．高三数学第6页共19页数学Ⅱ（附加题）21．(本小题满分10分)已知Rx，向量11ur是矩阵102xA的属于特征值的一个特征向量，求1A．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的参数方程为21222xtyt，(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝22sinθ＋π4，求直线l被曲线C所截的弦长．高三数学第7页共19页23．(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，25ADABuuuruuur，1BC与1BC交于点E．（1）求异面直线1AC与1DB所成角的余弦值；（2）求二面角1ADEA的余弦值．24．(本小题满分10分)若排列12,,,naaaL中存在ia使得11iiiaaa（2,,1inL），则称ia为排列12,,,naaaL的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和3．记正整数1,2,,nL的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为*()(3,N)fnnn．（1）求(3)f，(4)f；（2）求()fn．高三数学第8页共19页江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试数学Ⅰ试题参考答案1.12.13.504.315.56.2337.28.26169.10610.111.81512.213.314.1312,,62U15.解：⑴1cos24sincos22xfxxx22sin1sin12sin2sin1xxxx…………………………5分所以函数yfx的最小正周期为2…………………………………7分⑵()(2)2sin21,0,662gxfxxx…………………………8分因为0,2x，所以52,666x，所以1sin2,162x…………………………………………………11分所以函数ygx的值域为0,3……………………………………………14分高三数学第9页共19页16.证明：⑴取PA的中点G，连接,GDGE.在PAB中，因为,EG分别为,PBPA中点，所以GE//AB且12GEAB…………………………………………………2分因为底面ABCD为平行四边形，所以DC//AB，F为DC的中点，所以12DFAB…………………………………………4分所以GE//DF且GEDF，所以四边形GEFD为平行四边形,所以GD//EF因为EF平面PAD，GD平面PAD，所以EF//平面PAD…………………………………………………………7分⑵取AD的中点H,连接PH.因为侧面PAD为正三角形，所以PHAD…………………………………9分因为平面PAD平面ABCD，PH平面PAD，平面PADI平面ABCDAD,所以PH平面ABCD………………11分因为AB平面ABCD，所以PHAB，因为090PAB，所以ABAP,因为PHPAPI，,PAPH平面PAD，所以AB平面PAD………………………………………………………13分因为AB平面PAB，所以平面PAD平面PAB………………………14分17.解：⑴因为121,1kk，所以直线12,ll方程分别为10,30xyxy由221821xyyx得：25840xx，由此解得25x，所以75y，所以27,55A……………………………2分高三数学第10页共19页同理可得：141,55B…………………………………………………………4分所以直线AB的方程为510120xy所以222212147112482555525510PABS…………………6分⑵设AB的中点为H点①当直线AB过原点时，点H与点O重合.因为PAPB，所以POAB，所以直线AB的方程为20xy………………………………………………8分②当直线AB不过原点时.设00,Hxy在OABV中，因为OAOB，所以OHAB，在PABV中，因为PAPB，所以PHAB，所以点,,PHO三点共线，因为直线OP的斜率为12，所以直线AB的斜率为2……………………10分设直线AB的方程为20yxmm，由221822xyyxm得：221716480xmxm，所以0817mx，017my所以直线OH斜率为18，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，点,,PHO三点不共线（与上面的结论矛盾）.综上：所求直线AB的方程为20xy……………………………………14分18.解：⑴过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，高三数学第11页共19页所以点,EF分别为小正方形和大正方形边的中点.所以小正方形的边长为1sin2sin2，大正方形的边长为1cossin2cos2sin2…………………2分所以五个正方形的面积和为224sincos2sinS228sincos4sincos………………4分因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以sincos2sin，所以1tan3，所以的取值范围为00,，001tan,0,32……………………………6分答：面积S关于的函数表达式为228sincos4sincosS，的取值范围为00,，001tan,0,32……………………………7分⑵法一：228sincos4sincosS1cos21cos282sin222972sin2cos222965sin222，其中7tan,0,42……………10分所以min9652S,此时sin21，因为00,，所以0302222，高三数学第12页共19页所以22………………………………………………………12分所以14tan2tan2tan722tan471tan，化简得：22tan7tan20由此解得：765tan4，因为10tan3，所以765tan4………………………15分答：面积S最小值为9652…………………………………………16分法二：228sincos4sincosS2222228sincos4sincos8tan4tan1sincostan1……………9分令tant，则228t41t1tS，设228t411,0,t13tftt令222227201ttft