2019-2020学年北京市北京交通大学附属中学高二第二学期4月月考数学试题(解析版)

第1页共15页2019-2020学年北京市北京交通大学附属中学高二第二学期4月月考数学试题一、单选题1．抛物线24yx的焦点坐标为（）A．(1,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(0,1)【答案】B【解析】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，由24p，可得：12p，即焦点坐标为1,0.本题选择B选项.2．下列函数中，是偶函数且在(0,)上单调递增的是A．2()fxxxB．21()fxxC．()lnfxxD．()xfxe【答案】D【解析】根据题意，结合常见函数的奇偶性以及单调性依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】对于A，22200xxxfxxxxxx，，，是偶函数，在0,不是增函数，不符合题意；对于B，21fxx，2211fxfxxx，是偶函数，在0,是减函数，不符合题意；对于C，lnfxx，其定义域为0,，不是偶函数，不符合题意；对于D，00xxxexyeex，，，是偶函数且在0,上单调递增，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．第2页共15页3．已知椭圆2222 1xyab（a＞b＞0）的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【解析】由题意利用离心率的定义和,,abc的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2cecaba,化简得2234ab,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4．下列关于求导叙述正确的是（）A．若sinfxx，则cosfxxB．若lnfxxx，则1xfxxC．若24fxx，则4fxxD．若xfxex，则01f【答案】B【解析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，sinfxx，则cosfxx，A选项错误；对于B选项，lnfxxx，则111xfxxx，B选项正确；对于C选项，24fxx，则8fxx，C选项错误；对于D选项，xfxex，则1xfxe，00f，D选项错误.故选：B.【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.5．设0.4log0.5a，0.46b，8log0.4c，则a、b、c的大小关系是（）A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】C【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a、b、c三个数与0和1的大小关系，进而可得出a、b、c三个数的大小关系.第3页共15页【详解】对数函数0.4logyx为0,上的减函数，则0.40.40.4log1log0.5log0.4，即01a；指数函数6xy为R上的增函数，则0.40661b；对数函数8logyx为0,上的增函数，则88log0.4log10c.因此，cab.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.6．关于函数2sin4fxx有下述三个结论：①函数fx的最小正周期为2；②函数fx的最大值为2；③函数fx在区间,2ππ上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】利用正弦型函数的周期公式可判断命题①的正误；利用正弦型函数的最值可判断命题②的正误；利用正弦函数的单调性可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，函数2sin4fxx的最小正周期为221T，命题①正确；对于命题②，函数2sin4fxx的最大值为2，命题②错误；对于命题③，当,2x时，35,444x，所以，函数2sin4fxx在区间,2ππ上单调递减，命题③正确.第4页共15页故选：B.【点睛】本题考查正弦型三角函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期、最值和单调性，考查推理能力，属于基础题.7．已知、、是三个不同的平面，且m，n，则“//mn”是“//”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//mn”是“//”的必要而不充分条件.【详解】如下图所示，将平面、、视为三棱柱的三个侧面，设a，将a、m、n视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//mn”“//”；另一方面，若//，且m，n，由面面平行的性质定理可得出//mn.所以，“//”“//mn”，因此，“//mn”是“//”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8．函数327fxxkxx在区间1,1上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．,2B．22,C．2,D．2,【答案】B第5页共15页【解析】由题意得出0fx对于任意的1,1x恒成立，由此得出1010ff，进而可求得实数k的取值范围.【详解】327fxxkxx，2327fxxkx，由题意可知，不等式0fx对于任意的1,1x恒成立，所以，12401240fkfk，解得22k.因此，实数k的取值范围是22,.故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知函数32()2fxxxxk.若存在实数0x，使得00()()fxfx成立，则实数k的取值范围是（）A．[1,)B．(,1]C．[0,)D．(,0]【答案】A【解析】根据题意将存在实数0x，使得00()()fxfx成立转化为00fxfx有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22xxk有根，进而转化为22yxx与yk的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵32()2fxxxxk且00()()fxfx，323222xxxkxxxk（）整理得22xxk，∴原问题转化为22yxx与yk的图象有交点，画出22yxx的图象如下：第6页共15页当1x时，1y，由图可知，1k．故选：A．【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．10．如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE，则线段1BP的长度的最大值为（）A．455B．2C．22D．3【答案】D【解析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点,,0Pxy，根据110BPDE得出x、y满足的关系式，并求出y的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1BP的最大值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则点12,2,2B、10,0,2D、1,2,0E，设点,,002,02Pxyxy，第7页共15页11,2,2DE，12,2,2BPxy，11DEBP，112224220BPDExyxy，得22xy，由0202xy，得022202yy，得01y，2221224548BPxyyy，01y，当1y时，1BP取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.二、填空题11．已知函数xxfxe，则0f___________.【答案】1【解析】利用导数的运算法则求得fx，然后代值计算可得出0f的值.【详解】xxfxe，21xxxxxexexfxee，因此，01f.故答案为：1.【点睛】本题考查导数的计算，考查了导数的运算法则，考查计算能力，属于基础题.第8页共15页12．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】2yx.【解析】根据条件求b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b，解得2b或2b，因为0b，所以2b.因为1a，所以双曲线的渐近线方程为2yx.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,ab密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.13．已知函数yfx是偶函数，且当0,x时，2logfxx，若3af，14bf，2cf，则a、b、c的大小关系是_______．【答案】bac【解析】求出a、b、c的值，再利用对数函数2logyx的单调性可得出a、b、c的大小关系.【详解】由于函数yfx是偶函数，且当0,x时，2logfxx，所以，233log3aff，211log244bf，22log21cf，因为函数2logyx为0,上的增函数，则222log2log3log4，即bac.故答案为：bac.【点睛】第9页共15页本题考查数的大小比较，涉及对数函数的单调性与函数的奇偶性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．已知定义在R上的函数fx的导函数yfx的图象如图所示，则函数fx的单调减区间是__________．【答案】,2，2,【解析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数yfx的图象可得出函数yfx的单调递减区间.【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数yfx的单调递减区间为,2和2,.故答案为：,2，2,.【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题.15．函数ln0yxx的图象与直线12yxa相切，则a等于_____．【答案】ln21【解析】设切点坐标为,lntt，根据切线斜率为12可得出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程，即可求得实数a的值.【详解】设切点坐标为,lntt，对函数lnyx求导得1yx，则切线斜率为112t，解得2t，所以，切点坐标为2,ln2，将切点坐标代入切线方程得12ln22a，解得ln21a.故答案为：ln21.第10页共15页【点睛】本题考查利用切线方程求参数，要注意以下两点：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为切线与函数图象的公共点.考查计算能力，属于基础题.16．函数lnxfxeax（其中aR，e为自然对数的底数）．①aR，使得直线