数学建模预测模型与案例

1预测模型最近几年，在全国大学生数学建模竞赛常常出现预测模型或是与预测有关的题目，例如疾病的传播，雨量的预报等。什么是预测模型？如何预测？有那些方法？对此下面作些介绍。预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预则立，不预则废”，“人无远虑，必有近忧”。卜卦、算命都是一种预测。中国古代著名著作“易经”就是一种专门研究预测的书，现在研究易经的人也不少。古代的预测主要靠预言家，即先知们的直观判断，或是借助于某些先兆，缺乏科学根据。预测技术的发展源于社会的需求和实践。20世纪初期风行一时的巴布生图表就是早期的市场预测资料，哈佛大学的每月指数图表为商品市场、证券市场和货币市场预测提供了依据。然而这些预测都未能揭示1929-1930年经济危期的突然暴发，使工商界深感失望。尔后，经济学家们从挫折中吸取了教训，采用趋势和循环技术对商业进行分析和预测，科学预测也因此开始萌生。20世纪30年代凯思斯提出政府干预和市场机制相结合的经济模型，1937年诺依曼又提出了扩展经济模型，对近代经济模型产生重要的影响，科学的经济和商业预测也就步入发展阶段。技术预测开始于二次世界大战后的20世纪40年代，直到20世纪50年代未才广泛应用于工农业和军事部门。由于社会、科学技术和经济的大量需求，预测技求才成为一门真正的科学，预测未来是当2代科学的重要任务。20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。科学技术、经济和社会预测的应验率也是很高的。维聂尔曾预言20世纪是电子时代，法国思想家迈希尔18世纪末到19世纪初对巴黎未来几百年的发展进行了预测。从1950年的实际情况分析，他的预测中有36％得到证实，28％接近实现，只有36％是错误的。法国哲学家和数学家冠道塞在法国大革命时期曾采用外推法进行了一系列社会预测，其中75％得到证实。沙杰尔莱特1901年在《二十世纪的发明》一书中的一些预测，其中64％得到证实。凯木弗尔特在1910年和1915年公布的25项预测中，到1941年只有3项未被证实，3项是错误的。我国明朝开国功臣刘基就预测将来是天上铁鸟飞，地上铁马跑，那时还没有火车、飞机。预测的目的在于认识自然和社会发展规律，以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测3和决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。一预测的前期准备工作为保证预测结果的精确度，预测之前必须做一系列的准备工作：（一）数据的准备数据是预测工作的前提和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找出规律，便可科学地推断未来。数据在预测中主要有两个作用：（1）、用于确定由某些历史观察点组成的行为模型；（2）、在因果模型预测中确定自变量的未来值。预测的初始阶段，首先是从事数据的收集、整理、加工和分析，为建模创造良好的条件。（Ⅰ）数据的收集和整理按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据，包括以各种形式初次收集的数据。收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查，或全面调查。在预测的定性方法中常常需要第一手数据，例如特尔斐法的第一个阶段就是收集第一手数据。由于获取第一手数据的费用较高，时间较长，所以定量方法常4采用第二手数据。第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取，代价低，数据精度也有一定的保证。其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。因此，常常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要。无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的。预测人员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统，形式上简明统一的数据。（Ⅱ）数据的分析和处理建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要求。这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。对于失真的数据，以及不符合建模的数据，必须通过分析，加以适当处理。1．处理的原则（1）准确，处理后的数据能正确反映事物发展的未来趋势和状况；（2）及时，数据的处理要及时；（3）适用，处理的数据能满足建模的需要；（4）经济，要尽量减少数据处理的费用，以降低预测成本；（5）一致，处理的数据在整个比较性。使用期间内必须是一致的，具有可比较性2．处理方法（1）判别法5通过对历史数据的判断，选择其中可代表整个预测过程中很可能发生的模式的数据作为建模数据；（2）剔除法如果数据量比较大，且非必须具备连续的数据量，这时可剔除数据中受随机干扰的异常值；（3）平均值法在数据比较少或需要连续数据时，则可采取平均值法对数据进行处理。对于时间序列数据，可用异常值前后两期数据的算术平均值或几何平均值对异常值进行修正，即11112tttttxxxxx−+−++==t或x通常当历史数据的发展趋势呈线性时，取算求平均值，当发展趋势呈非线性时，取几何平均值。在利用因果关系建立数学模型时，为去掉偶然因素对建立模型的影响，可采用下面的计算方法对统计数据中的异常数据加以修正：当x与y之间为线性因果关系时，取2llmmkkyxyxyx+=当x与y之间为非线性因果关系时，取6llmmkkyxyxyx=式中ky为有随机因素影响时期因变量的估计值，kx是与之对应的自变量；,lmxx是与kx在数值上相差最小的两个自变量，且lkmxxx≤≤,lmyy分别是与,lmxx相对应的因变量统计值（4）拉平法由于条件发生变化，常常使一些厉史数据不能反映现时的情况，例如，大型钢铁厂、化肥厂、或油气田的建成投产或开发，可以使产量猛增，这时历史数据将发生突变，出现一个转折，如用这类数据建模，则需要处理。这时拉平法是一种较好的方法。它的原理是对转折点前的数据加一个适当的量值，使其与折点后的数据走向一致。（5）比例法销售条件与环境的变化常常会引起一个企业产品市场销售比例的改变。当比例变化较大时，说明销售条件与环境对销售的影响己超过其他因素对销售的影响，也说明以前的销售统计数据所体现出的销售发展规律不再适用之于目前的情况了。如果仍然利用这些数据建立预测模型，将无法体现销售条件和环境变化后的销售量变化的规律，用这样的模型进行预测，将会造成较大的误差。因此，如果还想利用这些数据建立模型，进行预测，就应该把它们处理成能体现条件与环境发生变化之后的情况的数据。对于这类数据，比例法就是一种比较有效的处理方法。7例如，某一生产生产资料的大型企业，80年代中期前销售额一直呈递增趋势，而80年代中期后，受压缩基建规模的影响，销售量突然下降。又如轿车在80年代中期以前一直是紧俏商品，后因国家实行控购政策，销售量一度急剧下降。这时，对上述某一生产资料销售量或对轿车销售量进行预测，都要考虑政策因素的影响，对于前期数据采用比例法进行适当修正（当时是计划经济，私人买不起轿车。买轿车的都国家机关、企事业单位。）当然比例法不仅仅限于对数值向下调，也适合向上调。比例法数据处理公式为ttititititittiuyyuytiytiututi−−−−−−=−−−其中：年修正后的数年实际数据年的市场占有率年的市场占有率（6）移动平均和指数平滑法如果原始数据总体走向具有一定规律性，但因受随机因素干扰，数据离散度很大，采用平均值法也难以处理。这时可采用一次、二次、甚至三次移动平均和指数平滑对数据进行平滑，用平滑的数据建模。在分解预测时，为处理季节数据，则必须采用高次幂的移动平均法，对数据平滑。（7）差分法8有些模型，例如鲍克斯-詹金斯模型只能处理平稳数据，如果原始数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。差分有三种主要类型：前向差分、后向差分、中心差分。前向差分：在处理时间数列时，一阶前向差分定义为'1tttxxx+=−一阶前向差分是当时间由t变到t+1时，tx的改变量。二阶前向差分定义为'''1212ttttttxxxxxx+++=−=−+同样，可以定义高阶差分。后向差分：在处理时间数列时，一阶后向差分定义为'1tttxxx−=−一阶后向差分是当时间由t递推到t-1时，tx的改变量。二阶后向差分定义为''''1122ttttttxxxxxx−−−=−=−+同理可以定义高阶后向差分中心差分：在处理时间数列时，一阶中心差分定义为1122'tttxxx+−=−二阶中心差分定义为1122''''112ttttttxxxxxx+−+−=−=−+9同理可以定义高阶中心差分。在处理时间数列时，主要应用后向差分。一次多项式数据通过一阶差分就可转换为平稳数据，二次多项式和三次多项式数据分别通过二阶和三阶差分可转换为平稳数据，而三次以上的高次多项式在应用中很少采用。（Ⅲ）数据的内涵及数量在预测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期限不同，所需的数据内涵及数量也不同。经济预测的数据主要包括：（1）国民经济总产值及各部类的分配情况；（2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平；（3）政府的经济政策及产业政策；（4）生产力布局；（5）人口发展趋势及就业情况；（6）国民经济投资及分配；（7）国际环境及变化趋势。市场需求预测需要的数据主要有：（1）人口及人均收入；（2）国民收入的增长及分配情况；；（3）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口税、销售稅和其它税费、信贷管理及外费管理等。（4）一段时期内产量和产值的生产能力；（5）一段时期内的产品的进口量；10（6）代用品或近似代用品的产量和进口量；（7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量；（8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标；（9）产品出口量；（10）个人或集体消费者们的实贯或嗜好；（11）法律方面的资料。二专家的选择和专家组的组成在现实生活中，有时不得不在不确定的条件下作出决策，这是因为或者决策的制约因素过多，或者其中某些因素无法度量。我们常称之为定性因素。为这类决策提供预测，因为没有严格的理论依据，定量方法无法采用。在这种情况下，借助专家的经验判断则有可能作出定量方法难以得到的科学预测。专家的素质取决于他的知识、经验、智慧和对未来的预测能力，以及其他一些因素。实践表明，在当今如此复杂多变的情况下，任何个人或一个专家都难于作出较精确的预测。必须集中多方专家的意见才能作出科学的预测。因此选择专家组成员是预测能否成功的重要环节，是预测要做的首要工作。应邀的专家要具有广泛的知识，对预测所涉及主题的各领域应有较深的造诣。选择专家不能简单从事，不能事先未经征得同意就将调查表发给拟邀请的专家。因为有的专家可能不愿意参加这项预测。那么选择专家应如何进行呢？（一）什么叫专家在组织专家预测时，专家是个广义的概念，拟选的专家不能仅仅11局限于一个领域的权威，因为权威人数是有限的。特尔斐法拟选的专家是指在该领域从事10年以上工作的专业干部。（二）怎样选择专家怎样选择专家是由预测任务决定的。如果要求比较深入地了解部门的历史情况和技术政策，或涉及到本部门的机密问题，则最好从本部门选择专家。从本部门选择专家比较简单，既有档可查，又熟悉干部的现实情况。如果预测任务仅仅关系到事物的发展，则最好同时从部门内外挑选。从外部选择专家，大体按以下顺序进行：（1）