神奇矩阵

题目：《神奇的矩阵》(修改版1.12)学校：哈尔滨工程大学姓名：黎文科联系方式：QQ群：53937814联系方式：[e-mail]前言................................................................................................................................3绪论................................................................................................................................41空间与坐标系...........................................................................................................82矩阵与变换.............................................................................................................103矩阵与方程组.........................................................................................................134矩阵与基和坐标......................................................................................................145特殊的矩阵..............................................................................................................166矩阵的等价与相似..................................................................................................187矩阵的相似对角化..................................................................................................198矩阵的复数域对角化..............................................................................................229内积与相关..............................................................................................................2410优美的二次型........................................................................................................2511行列式....................................................................................................................253前言这里只是整理了孟岩老师的《理解矩阵》和任广千、胡翠芳老师的《线性代数的几何意义》，在改正一些错误的基础上，前一部分基本忠实原文。但是本文并不是一次简单的复制粘贴，我在最后一部分加入了自己的一些感悟和理解，分别对矩阵的乘法，等价，相似、对角化等做出了讨论。文中重要的内容处采用楷体加粗，以示区分。可以说，本文是对原来文章的一次整理和升华。这里只是出于一种对数学的爱好！有兴趣的读者建议阅读原文，希望不会引起读者朋友的拍板砖。本文的大部分内容取材于DavidC.Lay的《线性代数及其应用》、孟岩老师的《理解矩阵》、任广千、胡翠芳老师的《线性代数的几何意义》、维基百科、范崇金、王锋老师的《线性代数》（也就是我们学校的教材，我感觉这是一本不错的教材，讲解很透彻）。由于线性代数大家都学过，没有秘密可言。数学的好经验应该大家共享，我们自己也是这么学来的。作者愿意公开本文的电子文档。版权声明如下：（1）读者可以任意拷贝、修改本书的内容，但不可以篡改作者及所属单位。（2）未经作者许可，不得出版或大量印发本文。（3）如果你有好的修改建议，或者也写了一些心得体会，欢迎联系我，与大家共享。由于本人水平有限，错误在所难免，欢迎读者对本文提出批评建议。相信每一次的思考，不管对错，都能对你的理解做出贡献。希望这篇拙作能起到抛砖引玉的作用。谨以此文献给我的母校哈尔滨工程大学，作为一份建校六十周年的纪念！——作者2013年9月于哈尔滨4绪论学过线性代数的人都感觉到，线性代数带来的困惑实在太多了：对于线性代数，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用昀广泛的同济线性代数教材，一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。要想提高自己的专业水平，你肯定深感数学能力的重要。随便打开一篇专著或论文，满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上，每每被打得灰头土脸、晕头转向。我天生就不是搞数学的？我的智力有问题吗？太失望了，太伤自尊了。转头看看周围，莫不雷同。大多的工程师们靠经验来工作，经验靠时间或试验来积累。数学应用的层次昀多就是高中水平。也有硕士博士级的牛人，但也少见把数学工具在工作中应用的得心应手、手到擒来的。数学工具在科技实践中缺失的严重，导致我们的科技创新能力的严重缺失。普遍现象，绝对的。返回来想一想，我的智力应该没问题，重点大学都毕业了，能有多严重的问题？所有的工程师们、大学毕业生们的智力也没问题。问题是大家没把数学学好，没有真正掌握它。为啥没有在四年的大学阶段学好《线代》呢？要知道，学生是通过高考百里挑一录取的，智力应是足够正常的。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，昀后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。5”我们在小学和中学的学习阶段，老师常常也讲一些抽象概念所对应的几何意义，为何到了大学我们的大脑就一下子高度抽象起来了？把形象仍得远远的，象瘟疫一样躲着他？目的是训练抽象思维？昀终实际结果呢？不可否认，大学毕业后大家确实是抽象了，抽象得只会夸夸其谈讲理论不会干具体活了。既然你具体的活计不会干那干脆就专搞抽象的理论去嘛，结果也搞不了，为啥？只会做做过的抽象的数学题不会发明创造，没学会真正的抽象，真是越抽象越糊涂。事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigmshift，不感到困难才是奇怪的。我觉得，抽象和形象是相辅相成，缺一不可的。由形象而抽象，再由抽象到形象，人的知识结构螺旋架才能旋转而上，达到越来越高的知识峰巅。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：*矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？*矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，昀后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？*行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对mn矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？*为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？*特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax=λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？它又有什么神通广大的应用呢？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，昀后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手