《一次函数》典型例题解析与点评

1《一次函数》典型例题解析与点评一次函数是初中数学中应用广泛、内容丰富的课题之一，通过学习一次函数，可有助于构造方程、深入理解函数的变化，使以后的学习、研究更加方便．本专题的基本要求是会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像，并掌握其性质，所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述．例题１已知直线l1：y＝－3x＋4与直线l2：y＝13x＋4相交于点A，其中直线l1与x轴交于点C，现沿着x轴将直线l1在x轴以下的部分向上翻折到x轴的上半部，翻折后与直线l2交于点B．(1)求射线lCB（不含端点）对应的函数解析式及定义域；(2)求点B的坐标；(3)求△ABC的面积．【解答】(1)由y＝－3x＋4知，C（43，0）．【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解，这种情况在“正反比例”中已做强调．而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形，或者利用割补法来求解．另外，以下知识点在一些教材需等高中才能讲授，作为本书阅读者可提前了解．已知两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．(1)若l1∥l2，则k1＝k2，或l1、l2两直线同时平行y轴；反之亦然．(2)若l1⊥l2，则k1×k2＝－1，或l1、l2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在（两直线分别为平行于x轴，y轴）；反之亦然．2在本题中，l1、l2为互相垂直．例题2已知abc0，a＋b＋c0，且一次函数y＝bcxaa的图像经过第一、二、三象限．求证：(1)a0，b0，c0；(2)当x0时，y1．【解答】【技巧】本题考查的是一次函数的图像，根据图像所经过的象限判断出斜率和截距的情况，即b÷a0，（－c）÷a0；再结合不等式的性质，推出a、b、c的大小，从而得证．反过来根据x的取值范围，再利用函数图像也能求出y的取值范围．例题3如图所示，在直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(kb0，b0)的图像分别与x轴、y轴和直线x＝4相交于A、B、C三点，直线x＝4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积是10，若点A的横坐标是－0.5，求这个一次函数的解析式．【解答】【技巧】本题利用待定系数法和面积法构造二元一次方程组求解．要求一次函数的解析式，必须已知两个点，而本题只给出一个点的坐标，因此要从面积着手找出k与b之间的另一个关系．通过本题，可知解题还须熟记以下基本公式．3(1)l：y＝kx＋b与x轴的交点为(－bk，0），与y轴的交点为(0，b)；(2)l与x轴、y轴所围成的三角形面积为22bk．例题４如图所示，在直角坐标平面内，函数y＝mx(x0，m是常数)的图像经过点A(1，4)，B(a，b)，其中，过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．(1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标；(2)求证：DC平行于AB；(3)当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式．【解答】(1)将点A代入y＝mx得：m＝4，所以y＝4x．由△ABD的面积为4，点B(a，b)代入函数解析式得方程组：【技巧】注意斜率公式：k1212yyxx；两点间距离公式：d＝221212xxyy．本题首先用待定系数法求出反比例函数关系式，然后通过已知条件的面积以及关于点B的函数关系式找到两个等量关系，再构造方程组从而解出点B的坐标，求证DC与AB的平行，由于在直角坐标系中本题完全可撇除通过平行的判定来证明，这里我们从直线的斜率上判断，原因在题1的技巧贴士中已经给出．第(3)问求函数关系式，选择待定系数法，通过AD＝BC，在直角坐标系中构造直角三角形，通过求边的长度找到等量关系．4【点评】几何问题是一次函数中常见的题型，它经常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数解析式等形式出现．在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本知识，特别是类似一次函数斜率k≠0等问题．对于翻折旋转问题，还请了解以下内容．正因为如此，题1中l1：y＝－3x＋4关于x轴对称可直接表达为－y＝－3x＋4，当然也可以取l1上一点（2，－2），则该点关于x轴的对称点为(2，2)，求出经点C（43，0）与(2，2)的解析式即lBC．这种“取点”方法间接解决了函数y＝f(x)关于某点对称的函数y＝g(x)的求法，即取y＝f(x)上的一些点，这些点的对称点比较容易求出，并且这些点都在y＝g(x)上，有了这些点，利用“待定系数法”等技巧可以表达出y＝g(x)．对于面积问题，通过题1、题3、题4的讲解我们知道，在一次函数中，要么用割补法，如题1，要么数形结合，直接用公式，如题4，以BD为底，△ABD的高为4－b．例题5已知f(x)是一次函数．(1)若f[f(x＋1)]＝4x＋7，求函数f(x)的表达式；(2)若f(1)＝1，且f[(2)]＝2×4bk，求函数f(x)的表达式．【解答】【技巧】首先设一次函数表达式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，比较左右两边的系数构造方程组求解，先设出一次函数的表达式，通过两次代换得到一个新的函数，再利用两边对应项系数相等构造出方程组，从而解出k和b的值，如对于f(f(x))，现标记为f1(f2(x))，先计算出f2(x)，再将5f2(x)视为一个整体代入f1(x)．例题６在直角坐标系xOy，x轴上的动点M(x，0)到定点P(5，5)，Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，求点M的横坐标．【解答】如图所示，作点Q关于x轴的对称点Q'（2，－1）．设直线PQ'的解析式为y＝kx＋b，将点P(5，5)，Q'（2，－1）代入解析式得5512kbkb，解得k＝2，b＝－5，则直线PQ'的解析式为y＝2x－5．令y＝0，则x＝2.5即为所求．下面证明点M(2.5，0)使MP＋MQ取最小值．在x轴上任取点M，连接MP、MQ、PQ'．因为点Q关于x轴的对称点为Q'，所以x轴为线段QQ'的垂直平分线．由此可得MQ＝MQ'，因为MP＋MQ'≥PQ'，两点间距离线段最短，所以MP＋MQ的最小值即MP＋MQ'的最小值为PQ'．则PQ'与x轴的交点即为所求点M．【技巧】本题关键在于将问题转换为求两定点距离之和的最小值，即利用“两点之间线段最短”，由于点P、点Q分布在x轴的同侧，所以利用对称的知识首先将其中一点Q找到它的对称点Q'，因为M点在x轴上，那么我们可以理解其为直线PQ'与x轴的交点．还请注意，找到了M点，还需证明M使MP＋MQ取最小值，因此本题分两步：首先找出M，接着证明M即为所求．例题７设f(x)＝mx＋1m（1－x），其中m0，记f(x)在0≤x≤1的最小值为g(m)，求g(m)及其最大值，并作y＝g(m)的图像．【解答】6所以g(m)在0m≤1上为递增函数，g(m)在m≥1上为递减函数．故g(x)max＝g(1)＝1．【技巧】本题主要运用分类讨论的思想．先将f(x)整理成一次函数的常规形式，因x的系数是字母，不知道它的正负情况，因此要进行分类讨论．例题8某汽车出租公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．(2)如每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，应选择以上哪种购买方案？【解答】(1)设要购买x辆轿车，那么面包车要购买(10－x)辆，由题意得7x＋4(10－x)≤55，解得x≤5．因为x≥3，则x＝3，4，5．所以购买方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；②轿车4辆，面包车6辆；③轿车5辆，面包车5辆．(2)方案①的日租金为：3×200＋7×110＝1370（元）；方案②的日租金为：4×200＋6×110＝1460(元)；方案③的日租金为：5×200＋5×110＝1550(元)．为保证日租金不低于1500元，应选方案③，【技巧】解决本题的关键是要抓住题目中的关键词语“不超过”，“有几种方案”．首先根据已知条件列出不等式7x＋4(10－x)≤55，并且要注意的是，本题为应用题，所以x的取值应该是正整数．结合实际意义找出相对应的解，确定出三种方案，再对各种方案求出各种租金进行比较．例题9已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装x套，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．(1)求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂获利润最大？最大利润是多少？【解答】(1)由题意得：y＝50x＋45(80－x)＝5x＋3600．7因为两种型号的时装共用A种布料70米，B种布料52米，则有701.10.680,520.40.980,xxxx解得40≤x≤44，因x为整数，所以x＝40，41，42，43，44．所以y与x的函数关系式是y＝5x＋3600(x＝40，41，42，43，44)．(2)因为50，所以y随x的增大而增大，所以当x＝44时，ymax＝3820，即生产M型号的时装44套时，该厂利润最大，最大利润是3820元．【技巧】(1)求解自变量的取值范围的时候，我们要运用到题设中所给的条件“两种型号的时装共用A种布料70米，B种布料52米”，确定出两个不等关系，找出相应的范围，注意不等式是可以取得等号的．(2)通过5种方案分别计算求出利润并比较找出最大值，我们发现利润y与x的函数关系为y＝5x＋3600(x＝40，41，42，43，44)，y随x的增大而增大，因此x取最大值的时候可以得到ymax＝3820．【点评】以上5题主要涉及函数的迭代问题、最值问题和实际应用问题．迭代问题，就是将里面的函数看成一个整体代入外面的函数中，从内到外，逐层推算．这就要考同学们对函数定义的理解了，将外面函数中的x用里面函数的函数值代替再运算就可以了．再次强调对于f(f(x))的计算，现标记为f1(f2(x))，先计算出f2(x)，再将f2(x)视为一个整体代入f1(x)，同理，f1(f2(f3(x)))也是如此，从内到外，先算f3，再将f3作为整体代入计算f2，最后将f2作为整体代人f1．最值问题分为两个方面，一个是两点间线段最短．另一个是分段函数，需要进行分类讨论，分析函数增减性，画出函数图像，得到在定义域中函数值取到的最大值或最小值．题6的做法在专题6中还会出现，至于题7的最值则要在确定g(m)的基础上才能确定．对于题6，请千万牢记，本题要有两个步骤：首先找出M，接着证明M即为所求，第一个步骤是确定存在性，到底有没有满足条件的M点，第二步则是证明唯一性．而实际应用问题，如题8和题9，这两题是一次函数与不等式相结合的应用问题．首先根据题目中的条件确定出不等关系，找出相应的自变量的范围，确定出几种方案，再对各种方案求出因变量进行比较，得出最佳方案．例题10如图所示，在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm．点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果点P、点Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0≤t≤6)，则：(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；(2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．【解答】(1)由题意得，BQ＝t＝OP，8CQ＝6－t，所以y＝－12t2＋3t(0≤t≤6)．(2)已知坐标A(12，0)，B(0，6)，所以直线AB为y＝－12x＋6．由(1)得，当y取最大值时，t＝3，所以CQ＝3，