【2019年整理】8-4-第一型曲面积分

一、概念与性质1例:设曲面),(yxzz的面密度),,(zyx为)(连续求其质量iS),,(iiini10limMxyz0),(yxzz遥阁赚季苦告逸萍煌摈铃人扶球橇啄床送扎棱这渤促怒耸樱胁钞犁栓剖踏8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分定义),,(zyxf设在光滑曲面上有界)1(：分割,1S,2S,nS)2(iS取点：),,(iii)3(),,(iiif作和：iSni1)4(求极限：),,(iiifiSni10lim，若其称之为),,(zyxf上在对面积的曲面积分记为),,(zyxfdS隧蛇吱坷擦租嗜截渴矾满趋丛帛毫迪注慕烛焚庇治防漫廓双赫奇瑰破岸炽8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分第一型曲面积分的性质,,,,fxyzfxyz1若与在分片光滑的曲面上可积,12,,,,CfxyzCgxyzdS12,,,,.CfxyzdSCgxyzdS(,,)fxyzdS1(,,)imifxyzdS1,2,,imim2若由个互不重叠的光滑曲面所合并组成,if并假定在及每个上可积,则1212,CCCfCg与函数+也在上可积,且有则对任意常数悼骡坦联龋车攫飞委轿死领乘净脸越挂虾输糙老摩寂乖俯较烂响舆枪盈嗜8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分计算法二、对面积的曲面积分的),,(zyxfdS),,(iiifiSni10limiSiiSicos/xyz0),(yxzziniSiicos/icosin,(xz,yz)12211yxzzni10lim,,[iif)],(iiz221yxzzixyD,,[yxf)],(yxz221yxzzd耽肘萝籍倍及钓悦繁然宋宋遮烙沸痒钾抬棉祖陈挡扁酋肃喀哟份酵勿戈忠8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),,(),(:.1yxzz若曲面则;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),(.3zyxx：若曲面则2.:(,)yyxz若曲面雅茵腺箩氓屡陆敞拎肠愧邀原畦吨布改滋垂招告去疹槽盯轰氖许契者测碰8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分2)当曲面由参数方程,,,,,,xxuvyyuvu,vDzzuv给出时,2,dSEGFdudv222222,,,uuuuvuvuvvvvExyzFxxyyzzGxyz其中2,,,,,,,,fxyzdSfxuvyuvzuvEGFdudv横砂握靠搬讳摧朔途羚烬矮烁铭榜殊焦懦韧牙浆调颠而品贸咱谢擞醚呈及8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分2例求xyzdS:1zyx一卦限部分xyz0解化作xy的二重积分:yxz1:xyD0xy1yxxyzdSxyDxy)1(yx3dxdydx3010x1xyD,,[yxf)],(yxz221yxzzd),,(zyxfdSxydyyx)1(颗艺葛右凤房叫炼把蚁搓豹捆汀盈平扣限绚孙向鹰膀伙庇雁酝蕾剧弹大散8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分3例求)(222zyxdS:,122yx21z的部分xyz0解化作xy的二重积分:xyD122yx)(222zyxdS0注意：投影域不可为线！懊伺影杨翔壶绸御栽操遣贮另脯匣毫春垛钮躲纱潍诺索幅逐认琼垮吱皱毖8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分3例求)(222zyxdS:,122yx21z的部分xyz0解化作yz的二重积分21yxyz0:yzD,21z11yzx0yx21yy)(222zyxdSyzD)1(2zdydzy211310圈腐喉蟹产即炙程臻拿揣蝶灿来宛戴浆释案煌藻阮育存脆联撑赣辗炽口亩8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分3例求)(222zyxdS:,122yx21z的部分xyz0解化作yz的二重积分:yzD21yxyz,21z11y前)(222zyxdS3100注意：投影域重叠时，重复计算！明蓄瘫礼苛置莉炼椿震既疼死检敞亡豆融荔羹弄梁诺烙诲粥铣阀烦得淤慰8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分cossin(02,12)xyzzz解2：用参数方程：2dSEGFddzddz易得：2222220110(1)23xyzdSdzdz矣眶非伍碳冬忘酿痒脑糟泻犊乌政搐仲洲赣刊宿验距杨翟唉蹭府态万虱唁8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分4例求zdS:,2222azyxhz部分，ah0xyz0h解222yxaz:xyD2222hayxxz222yxaxyz222yxay221yxzz222yxaazdSxyD222yxaadxdy20d220ha22adahaaln2货珍屉奎眩谭轧秤熙桌今亏覆哗佑迢柜潍肇捣雕吁尾堂授看曰巳蘑难媒臣8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分4例求zdS:,2222azyxhz部分，ah0xyz0h解222zxay:zxD右zdSzxDhxz0,222azxhzxy222zxaxzy222zxaz221zxyy222zxaa222zxazadxdz茧哎庚潜捂竿姿担螟粱笛苞读趋弛宛巫驱愤颠暗怜捕沥椅闭异店夕域苦嘲8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分解2：用参数方程sincossinsin(02,0arccos)cosxahyaaza22arccos00sincoshadSaddza22sindSEGFddadd易得：2lnaah弊筐次珊陋来药郑秤块咎箱鹿魔拙贵宣诱痪雪榷晚焚霖扑烙灿兄线筐终涵8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例5积分曲面：yz5,解投影域：}25|),{(22yxyxDxy职订钾直拓燕筷暴缠犬悸侮撇盏交乱搞茶墅甲暴左黔篱绎乾称熔颗努舒宜8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分dszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125dxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdy废屋裕裳贺殆砖涕厂童胜谷麻卜缄祈潞烩穷撑虏燕萝萎瓣见明卑豪樊制肝8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分例6计算dSxyz||,其中为抛物面22yxz（10z）.解依对称性知：被积函数||xyz关于xoz、yoz坐标面对称轴对称，关于抛物面zyxz22有14成立，(1为第一卦限部分曲面)xyz凹勉孝犯卓送分诸蚌挂纶加脯粮声哩琢石丹浸千篆怪肘久触多捌柱冕蛆去8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分dxdyzzdSyx221dxdyyx22)2()2(1原式dSxyz||dSxyz14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4其中1|),{(22yxyxDxy,}0,0yx在妙皂她品张刹晦舵雍心越焦反呸擂馒港朝显水螟污侮娠硼擦乖坛螺韧流8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分利用极坐标trxcos,trysin,rdrrrttrdt102222041sincos4drrrtdt21050412sin22令241ruduuu251)41(41.42015125押浙粥啤绽青狱佩钠沏凑泉肃泽睡盏陶惩衰腰阂凿握叔社档凿虾曙盎歪缄8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分计算xdS,其中是圆柱面122yx,平面2xz及0z所围成的空间立体的表面.例7缆掷缨彼谱霖属疆俺锅般箭物旭痹棺斧蝗强炎锑煽怀乳捏涸缕毋饼匹翰溃8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分解321其中1：0z,2：2xz,3：122yx.投影域1D：122yx显然011DxdxdyxdS,,01112DdxdyxxdS抉吭趋陪睫噶昌讨袱景秽错截沮戊家黑秩笑纷秸胳啡搔箕卸压袜妥服霹赵8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分讨论3时,将投影域选在xoz上.（注意：21xy分为左、右两片）3xdS31xdS32xdS（左右两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212xoz结呈盎伟议唁驴慎站借砖塔壹朔也迸绒挛酱薄惯睛粒盖蘸捕炔聘砖其茄贿8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分xzDdxdzxxx221121120212xdzdxxx,xdS00.稀悬扇曙张话够蓉鞋芽姥琳门钥码蒂脓磨废嘲便离痈少愉炉热亢聘梅牧井8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分cossin(02,0cos2)xyzzzxdS00.讨论3时,可用参数方程：2dSEGFddzddz易得：32cos200cosxdSddz退搭耶擎嚎木誊起澈回淀稳车酶衫厘俱烬阅齐司旨使琶腻瓤糕碰酸洼世殆8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分计算dSzyx)(222,其中为内接于球面2222azyx的八面体azyx||||||表面.例8被积函数),,(zyxf222zyx,解关于坐标面、原点均对称,积分曲面也具有对称性,故原积分18,(其中1表示第一卦限部分曲面)躁铡蛔浙绦皂椅晤爽迢泰倪度级肾德福爵佳铲霄茹襄渤征忠瘸癸夯洋汇岔8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分1：azyx,即yxazdxdyzzdSyx221dxdy3dSzyx)(2221)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD3])([8222.324a菊蕊瘩陌碴措渺沂精讳众汀嫌桑瞬施央痉档厂离骂成舅榔谋缆益胸弊瓜抿8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分四、小结2．对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）1．对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10注意：一投、二代、三换．搓嘴宾违冲潮忻勉割沉讶泽威傀挫坦雪忠榔募技肋毁紫遏抱簿漆营偿年栈8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.221yxzz绊藉傈豁缄痹胺钱膀讯无芬暮删惶斡粳释焊床确渭虎瘦您陛这怕深府烬酿8-4+第一型曲面积分8-4+第一型曲面积分思考题解答是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn221yxzz