双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计论文

我们参赛选择的题号是（从1/2中选择一项填写）：1我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：江西科技师范大学参赛队员(打印并签名)：1.洪亚俊2.万志远3.江海洋指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012年6月3日-1-双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计一、摘要本文对方形平面双曲抛物面悬挂薄壳结构进行了理论分析和模型实验,论证了悬挂薄壳结构的设计概念和方法。采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖,具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点,双曲抛物面薄壳的实际工作处于复杂的空间状态，因此采用简化计算，其设计的基本原则是，在全跨均匀负荷载作用下，设计计算按一般预应力钢筋混凝土梁式构件进行；在集中载荷作用下（如悬挂吊车）才考虑空间工作，运用一般解析几知识求解。关键字：双曲抛物马鞍面简化计算负荷载-2-二、问题重述与分析采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖,具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点,可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑.下面是一个单块双曲抛物面薄壳屋盖及其制作过程的大致的示意图其数学表示由下面两个曲面1(,)zxy和2(,)zxy以及平面,xayb围成的空间区域构成.-3-2222+2,(,)+2,,xyxyxyffabxaybzxyyffbaxaaxayb12(,)(,)zxyzxy其中的参数,例如,可以是0.6m;0.26m;1.48m;8.25m;=0.025m;=0.11m.xyffab把直径为6mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线2xxzfa的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋,然后再浇注混凝土或树脂.示意图见图1.注意:做本题时有一些工程术语我们无需详细了解.图1马鞍面薄壳配筋示意图a)配筋特征图;b)预应力钢筋投影在x–y平面上的布置图;c)预应力钢筋布置侧面图.图中,1.几何轴线;2.预应力钢筋;3.受压钢筋;4.钢筋网;5.构造钢筋.1:预应力钢筋分布宽度;2:通过原点的直母线位置.-4-图2张拉台座及胎模示意图1.钢横梁(锚固面);2.两端混凝土边梁;3.中间混凝土边梁;4.边梁之间的联接法兰;5.边梁联接处锚固在地里;6.60L角钢拉条;7.素混凝土垫层;8.预应力钢筋图3马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图本题用到的参数、含义以及数值举例：0.6m;0.26m;1.48m;8.25m;0.025m;0.11m.xyffaba为板宽之半2Aa,称为翼缘宽度;0.11m,2.74mA.b为屋盖长度之半2Lbl,l称为挑檐长度;=0.75m,15mLl.为屋盖的垂直厚度,0.05m.预应力钢筋的直径为5mm0.005m.10.8ml1.就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法解决以下问题：-5-1.1.把预应力钢筋理想化为一维的直线.利用双曲抛物面是直纹面的特点,把预应力钢筋安置在两族直母线处,即在跨中端面处抛物线2xxzfa上的点,,0,1,2,...,xkxkxfkma处安放两族直母线钢筋.并固定(锚固)在过原点(0,0,0)的直母线与平面1ybl(10.8ml)相交的点处与该直母线垂直的锚固面上.请回答:a.能安排多少根过点,xkxkxfa的直母线钢筋.写出这些空间直线的方程,并图示之.b.写出锚固面的方程,并写出直母线和锚固面的交点的表示式.c.求出直母线之间的交点的表示式.d.求出直母线和锚固面的法线之间的夹角,以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.e.根据前面的数据以及0.1mx,具体计算a–d.f.编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件).1.2如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线,请回答a.圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在2xxzfa临近的哪些点处.写出这些中心轴线的方程,并图示之.b.写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.c.要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交.它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影是可以相交的,写出交点的表示式.计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离,要尽可能小(最好为零).d.编制一个通用的程序(软件).2.双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计.由于制作技术的飞速发展,我们可以暂且不考虑制作问题.请利用几种-6-双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型.写出它们的方程,并图示之.如果可能,请说明它们可以用在什么地方.三、模型假设1.1把预应力钢筋理想化为一维的直线1.2如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线四、符号说明1n，2n，3n，4n为平面的法向量un，vn，um，vm为直线的方向向量u，v参数r预应力钢筋半径A，B代换量,,,,,,1lffbayx为已知参量x，y，z为未知数121,,ckk为未知参量五、模型的建立与求解1.1.由题意解得中端面的方程为：22)()(),(byfaxfyxzyx令yxfbBfa2222A，即中端面议程为))((),(2222ByAxByAxByAxyxz所以U族直母线方程为)1,,()()0,1,1(21BuAunzuByAxBAnuByAx，同理可得V族南母线方程为)1,,()()0,1,1(43BvAvnzvByAxBAnvByAx，所以U族直母线的方向向量)2,1,1(21ABuABnnnu-7-同理V族直母线的方向向量)2,1,1(43ABuABnnnv所以过原点（0，0，0）的U族直母线的方向向量)0,1,1(ABmu同理可得过原点(0,0,0)的V族直母线的方向向量)0,1,1(ABmv即过原点(0,0,0)的U族直母线的方程为0ZByAx同理过原点(0,0,0)的V族直母线方程为0ZByAx所以过原点(0,0,0)的U族直母线与1lby的交点分别为)0,,)(A()0,,)(A(1111lbBlblbBlb和所以锚固面方程分别为0)(1))((B10)(1))((B11111lbyABlbAxlbyABlbAx和同理可得V族直母线与两直线的交点分别为)0,,)(A()0,,)(A(1111lbBlblbBlb和所以锚固面方程分别为0)(1))((B10)(1))((B11111lbyABlbAxlbyABlbAx和如图b预应力钢筋投影在x-y平面上的布置图可知U族直母线在x-y平面上的投影方程为01cByAx-8-所以过点(a,b)的直线方程为0BbAaByAx所以过点(a,b)的直线与x轴的交点为)0),((BbAaA所以U族直母线上预应力钢筋的条数为1)(2xBbAaA由对称性可知在V族上有同样多的预应力钢筋，所以总的钢筋数为2)(4xBbAaA所以U族直母线上的钢筋在x-y平面上的投影方程为01xkByAx同理V族直母线上的钢筋在x-y平面上的投影方程为01xkByAx所以交点为0011xkByAxxkByAx)(2)(22121kkxBykkxAx又因为交点在双曲抛物面上，所以交点坐标为(x,y,z(x,y))因为U族直母线的方向向量)2,1,1(ABuABnuU族直母线对应的锚固面的法向里为)0,1,1(ABmu所以直母线和锚固面的法线之间的夹角为uuuunmnmarccos同理可得V族直母线与其锚固面的夹角为vvvvnmnmarccose.根据前面的数据以及0.1mx,具体计算a–d.代入数据得a.能安排多少根过点,xkxkxfa的直母线钢筋.写出这些空间直线的方程,空间直线的方程为：zxkByAxxkByAx*1//*1//和zxkByAxxkByAx*2//*2//-9-钢筋条数：111]//[*2xBbAaA22]//*[*42xBbAaAb.写出锚固面的方程,并写出直母线和锚固面的交点的表示式.锚固面的方程为：020181*371551526*82506697*165262yx020181*371551526*82506697*165262yx交点为：0,20181,1526*82506697和0,20181,1526*82506697020181371551526*82506697165262yx020181371551526*82506697165262yx交点为：0,20181,1526*82506697和0,20181,1526*82506697c.求出直母线之间的交点的表示式.直母线交点：214),21(*2640165),21(*1510037,),21(20),21(20,,,kkkkkkyxzkkBkkAyxzyxd.求出直母线和锚固面的法线之间的夹角,以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.-10-20923870021830901.06957140771409460.08634142777425895.0arccosarccosunmnmuuuu20923870021830901.06957140771409460.08634142777425895.0arccosarccosvnmnmvvvv1.2如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线，我们可以考虑将上问所得的两族直母线分别向上和向下平移预应力钢筋半径r个单位(使两根圆柱形预应力钢筋之间的距离,要尽可能小(最好为零).),我们不妨将U族直母线向上平移r个单位得到相应的方程为rzuByAxuByAx)(即为U族中心轴线方程，将V族直母线向下平移r个单位得到相应的方程rzvByAxvByAx)(即为V族中心轴线方程所以圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在2xxzfa临近的处))2(,2(2arkfrkx.),.........2,1,0(k由经验可知锚固面方程不变，所以要求中心轴线和锚固面的交点只要联立中心轴线方程和锚固面方程即可解得交点坐标，中心轴线在x-y平面上的垂直投影的交的x,y的形式是不变的为)(2)(22121kkxBykkxAx所以交点坐标为)0),(),((2121kkBrkkAr，这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离为0.-11-六、模型优缺点分析模型的优点：模型1把预应力钢筋理想化为一维的直线,简化了计算，模型2言简意赅。模型的缺点：模型1建模时假设没有考虑到钢筋的粗细，模型2过于简单。七、参考文献【1】《数学分析》华东师范大学数学系编高等教育出版社。北京：2010年6月第4版【2】《解析几何》任明明，张世金编中国时代经济出版社。2007年5月【3】《数学模型》姜启源编著北京：高等教育出版社．2003年【4】《运筹学》（第三版）甘应爱等编著北京：清华大学出版社，2005年【5】《数学模型引论》唐焕文，贺明峰编著北京：高等教育出版社．2005年