直线的参数方程及其应用(不错哦-放心用)

1直线的参数方程及应用目标点击：1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段PP0的数量，P(yx,)P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3＝221tt,∣P0P3∣=221tt(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t202、直线参数方程的一般式过点P0(00,yx)，斜率为abk的直线的参数方程是btyyatxx00（t为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程.设点P(yx,)是直线l上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.1)当PP0与直线l同方向或P0和P重合时，P0P＝|P0P|则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)当PP0与直线l反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P＝－|P0P|P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin仍成立设P0P＝t，t为参数，又∵P0Q＝0xx，0xx＝tcosxyh0hP0hP(yx,)Qlxyh0hP(yx,)P0hQl2QP＝0yy∴0yy=tsin即sincos00tyytxx是所求的直线l的参数方程∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(00,yx)到点P(yx,)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|①当t0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t0时，点P在点P0的下方；特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为00yytxx④当t0时，点P在点P0的右侧；⑤当t＝0时，点P与点P0重合；⑥当t0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？根据直线l参数方程t的几何意义，P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t20一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点则t3＝221tt（∵P1P3＝－P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义，∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化lxyh0hP0hP(yx,)xyh0hPP0hlxyh0hP1P0hlP23例1：化直线1l的普通方程13yx＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解：令y=0,得x＝1，∴直线1l过定点(1,0).k＝－31=－33设倾斜角为，tg=－33,=65,cos=－23,sin=211l的参数方程为tytx21231（t为参数）t是直线1l上定点M0（1，0）到t对应的点M(yx,)的有向线段MM0的数量.由(2)21(1)231tytx(1)、(2)两式平方相加,得222)1(tyx∣t∣＝22)1(yx∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(yx,)的有向线段MM0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l的参数方程t313ytx（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t∣的几何意义.解：原方程组变形为(2)t31(1)3ytx(1)代入(2)消去参数t，得)3(31xy(点斜式)可见k=3,tg=3,倾斜角=3普通方程为01333yx(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(tyx∴∣t∣=2)1()3(22yx∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M(yx,)的有向线段MM0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线1l的参数方程为tytx21231即65sin65cos1tytx是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1,t的几何意义是有向线段MM0的数量.直线2l的参数方程为t313ytx是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段MM0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？4例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角为3，判断方程tytx233211（t为参数）和方程t331ytx（t为参数）是否为直线l的参数方程？如果是直线l的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l的的普通方程0333yx，所以，以上两个方程都是直线l的参数方程，其中tytx233211cos=21,sin=23，是标准形式，参数t是有向线段MM0的数量.，而方程t331ytx是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程t331ytx能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)t331ytx))3(1()3(133))3(1()3(11122222222tytx令t=t22)3(1得到直线l参数方程的标准形式t233211ytxt的几何意义是有向线段MM0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为、过点M0(00,yx)直线l参数方程的一般式为，.btyyatxx00（t为参数），斜率为abtgk(1)当22ba＝1时，则t的几何意义是有向线段MM0的数量.(2)当22ba≠1时，则t不具有上述的几何意义.btyyatxx00可化为)()(2222022220tbababyytbabaaxx令t=tba225则可得到标准式tbabyytbaaxx220220t的几何意义是有向线段MM0的数量.例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为43的直线l的标准参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.解：直线l的标准参数方程为43sin343cos2tytx即tytx223222（t为参数）（1）设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,则|M0M|＝|t|=2,∴t=±2将t的值代入(1)式当t=2时，M点在M0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；当t=-2时，M点在M0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易.例5：直线20cos420sin3tytx（t为参数）的倾斜角.解法1：消参数t,的34xy＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：110sin)(4110cos)(3tyttx（－t为参数）∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l的标准参数方程.2、直线l的方程：25cos225sin1tytx（t为参数），那么直线l的倾斜角()A65°B25°C155°D115°3、直线tytx521511（t为参数）的斜率和倾斜角分别是()A)－2和arctg(－2)B)－21和arctg(－21)6C)－2和－arctg2D)－21和－arctg214、已知直线sincos00tyytxx（t为参数）上的点A、B所对应的参数分别为t1,t2，点P分线段BA所成的比为（≠－1），则P所对应的参数是.5、直线l的方程：btyyatxx00（t为参数）A、B是直线l上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于()A∣t1－t2∣B22ba∣t1－t2∣C2221battD∣t1∣+∣t2∣6、已知直线l：t351ytx(t为参数)与直线m：032yx交于P点，求点M(1,－5)到点P的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l过点P（2，0），斜率为34，直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)M点的坐标；(3)线段AB的长|AB|解：(1)∵直线l过点P（2，0），斜率为34,设直线的倾斜角为，tg=34cos=53,sin=54∴直线l的标准参数方程为tytx54532（t为参数）*∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，整理得8t2－15t－50＝0Δ=152+4×8×500,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得t1＋t2＝815,t1t2＝425，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝221tt＝1615∵中点M所对应的参数为tM=1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为4316155416411615532yx即M（1641，43）ABMP(2,0)xy07(3)|AB|＝∣t2－t1∣＝222114)(tttt＝7385点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为3，(1)求直线l与直线l：32xy的交点Q与P点的距离|PQ|；(2)求直线l和圆22yx＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.解：(1)∵直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为3,∴直线l的标准参数方程为3sin333cos1tytx，即tytx2333211（t为参数）代入直线l：32xy得032)2333()211(tt整理，解得t=4+23t=4+23即为直线l与直线l的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义可知：|t|=|PQ|,∴|PQ|=4+23.(2)把直线l的标准参数方程为tytx2333211（t为参数）代入圆的方程22yx＝16，得16)