三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考理科数学试卷(word版-含解析)

第1页（共5页）三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A22*{2,1,0,1},{|,},BxxaaN，若A⊆B,则a的最小值为A.1B.2C.3D.42.设i是虚数单位，5,32,aiaiaiR则a=A.-2B.-1C.1D.23.已知函数32,0(),log,0xxfxxx则3(())3ff2.2A1.2B3.log2C3.log2D4.已知向量(3,2),(5,ABAC1),则向量AB与BC的夹角为A.45°B.60°C.90°D.120°5.α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则//”是“//m”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k的值为。A.45B.60C.75D.100第2页（共5页）7.要得到函数3cos2sin2yxx的图像，只需把函数sin23cos2yxx的图像A.向左平移2个单位B.向左平移712个单位C.向右平移12单位D.向右平移3个单位8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有A.120种B.240种C.480种D.600种9.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=1,4csinA-3cosC,△ABC的面积为3,2,则c=.22AB.4C.5.32D10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=A.-1B.0C.1D.211.已知12FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点,过1F的直线l交C于A，B两点,O为坐标原点,若122,||||OABFAFBF,则C的离心率为A.2.5B.6C.7D12.已知A,B是函数2,0()ln,0xxaxfxxxax图像上不同的两点,若曲线y=f(x)在点A、B处的切线重合,则实数a的最小值是A.-11.2B1.2CD.1二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。13.已知x,y满足约束条件0122xxyxy,则z=3x+2y的最小值为____.14.若椭圆222:11xyCmm的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为______15.已知函数()sin(2)6fxx,若方程3()5fx的解为1212,(0),xxxx则12xx______，12sin()xx______.(本题第一空2分,第二空3分)16.在四棱锥P-ABCD中,PAB是边长为23的正三角形,ABCD为矩形,AD=2,PC=PD=22.若四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的球面上,则球O的表面积为____第3页（共5页）三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为,nS且nS是na与1na的等差中项.(1)证明:2{}nS为等差数列,并求nS；(2)设11nnnbSS，数列{}nb的前n项和为.nT,求满足5nT的最小正整数n的值.18.(12分)如图,三棱柱111ABCABC中,△ABC与1ABC均为等腰直角三角形,190BACBAC,侧面11BAAB是菱形.(1)证明:平面ABC⊥平面1ABC；(2)求二面角1ABCC的余弦值.第4页（共5页）19.（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率。(1)估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望;(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布2(,).N若P(μ-2σ≤Yμ+2σ)0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,M为直线y=x-2上一动点,过点M作抛物线2:Cxy的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明:MN⊥x轴;(2)直线AB是否恒过一定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.第5页（共5页）21.(12分)已知函数1()ln.fxaxx(1)讨论f(x)的零点个数;(2)证明:当02ea时,1().2xefx(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为4cos2sinxy(α为参数),将曲线C.上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到曲线1,C以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为4cos3sin250.(1)写出1C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程;(2)曲线1C上是否存在不同的两点12(4,),(4,)MN)(以上两点坐标均为极坐标1,02,202),使点M、N到l的距离都为3?若存在,求出12||的值;若不存在,请说明理由.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a,b均为正数,且ab=1.证明:(1)22211()2abab…(22(1)(1)2)8.baab…第6页（共5页）27f(354＋)＋理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCACABABDCDB1．B解析：由题意可得B＝[－a，a]，∵a∈N*，∴a的最小值为2.2．C解析：5＋ai＝(3－2i)(a＋i)＝3a＋2＋(3－2a)i，∴5＝3a＋2且a＝3－2a，解得a＝1.3．A解析：3)＝log3＝－1，f(－1)＝2－1＝2，故选A.332→→→222→→→→4．C解析：∵BC＝AC－AB＝(2，－3)，∴AB·BC＝6－6＝0，∴AB与BC的夹角为90°.5．A解析：当α∥β时，有m∥β；当m∥β时，不一定有α∥β，故选A.6．B解析：n＝1，S＝k；n＝2，S＝k﹣＝n＝3，S＝﹣＝；；n＝4，S＝﹣＝退；出循环，由题意可得＝15，解得k＝60．7．A解析：把y＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π)＝2cos(2x－5π)的图像向左平移π个单位，得到y362＝2cos(2(xπ)－5π＝2cos(2xπ)＝3cos2x－sin2x，故选A.2668．B解析：由题意5天中，有2天阅读同一名著，故每周不同的阅读计划共有C2A4＝240种．9.D解析：∵a＝1，4csinA=3cosC，∴4csinA=3acosC，∴4sinCsinA=3sinAcosC，∴tanC=3,sinC3,cosC4,∴345523＝absinC＝10ab，解得b＝5，由余弦定理可得c＝3．10．C解析：由已知得f(－x)＝－f(x)，f(－3－x)＋f(x－3)＝0，∴f(x－3)＝f(x＋3)，∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)的周期为6.∵f(1)＝1，f(2)＝－2，f(0)＝0，∴f(3)＝f(－3)＝－f(3)＝0，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝2，f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，且2020＝6×336＋4，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.11．D解析：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1EF2,F1AAEEB，设F1Ax，则由双曲线的定义可得AF22ax,BF1BF23x2ax2a,x2a,EF223a，由勾股定理可得4a223a22c2,c27a2,ec.a12521545第7页（共5页）33112．B解析：当x≤0时，f′(x)＝2x＋1，当x＞0时，f′(x)＝lnx＋1，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，x≤0＜x.当x≤0时，曲线y＝f(x)在点A(x，f(x))处的切线方程为y－(x2＋x＋a)＝(2x＋1)(x－x)，121111111当x2＞0时，曲线y＝f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线方程为y－x2lnx2＋a＝(lnx2＋1)(x－x2)．两直线重合的充要条件是lnx＋1＝2x＋1①，－x－a＝a－x2②，由①②得a＝1(x2－e2x1)，x≤0.令g(x)＝1(x2－21211122e2x)(x≤0)，则g′(x)＝x－e2x，g″(x)＝1－2e2x，由g″(x)＝0得x1ln1x＝11时，g′(x)有最大＝，则当ln2222值为g′(1ln1)＝1l1－10，∴g(x)在(－∞，0]上单调递减，∴g(x)≥g(0)＝－1，即实数a的最小值是n2222221－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.214.215.2π－43516.28π13．2解析：作出可行域知z3x2y在点（0,2）处取得最大值2.14．2解析：由已知可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴长轴长为2.15．2π－4解析：∵0＜x＜π，∴2x－π∈(－π，11π)，∵方程f(x)＝3的解为x1，x2(0＜x1＜x2352x1－π＋2x2－ππ66652π2π2π＜π)，∴66＝2，解得x1＋x2＝23，∴x2＝3－x1，∴sin(x1－x2)＝sin(2x1－)＝－3cos(2x1－π)．∵x1x2，x2＝2π－x1，∴0＜x1＜π，∴2x1－π∈(－π，π)，∴由f(x1)＝sin(2x1－π)6333π446626＝得cos(2x1－56)＝，∴sin(x1－x2)＝－.5516．28π解析：如图，取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，取EF的中点H，PE的三等分点G，使PG＝2GE，则H，G分别为四边形ABCD与△PAB的中心，过H作平面ABCD的垂线与过G作平面PAB的垂线交于O，则O为球心，由已知PF＝19，EG＝EH＝1，∴cos∠PEFPE2＋EF2－PF2＝＝－，∴2PE·EF2∠PEF＝120°，GH＝OH＝OG＝3，AH＝2，R＝OA＝7，S＝4πR2＝28π.3.第8页（共5页）nn1nn1n2nna1三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）由题意可得2Sa1，当n1时，2Sa1，∴a21，a1，nnn11111当n2时，aSS，则2SSS1，整理可得S2S21,nnn1nnn1SnSn1nn1∴S2是首项为1，公差为1的等差数列，∴S2S2(n1)n，S6分n1n（2）由（1）可得bn，Tn132nn1n1n115，解得n35，∴最小正整数n的值为35--------------------