2020届四川省泸县第五中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(PDF版)

-1-2019-2020学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试理科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知a，b均为单位向量，若23ab，则向量a与b的夹角为A.6B.3C.23D.563.已知{}na是正项等比数列，若1a是2a，3a的等差中项，则公比qA.-2B.1C.0D.1，-24.直线l与双曲线2212yx交于A，B两点，以AB为直径的圆C的方程为22240xyxym，则mA.-3B.3C.522D.225.在的二项展开式中，的系数等于A.-180B.C.D.1806.设向量，，若，则A.B.-1C.D.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象A.向左平行移动个单位B.向右平行移动个单位C.向左平行移动个单位D.向右平行移动个单位8.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的，则输人k的值为-2-A.10B.11C.12D.139.已知，，，则a，b，c的大小为A.B.C.D.10.若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a的取值范围是A.B.C.D.11.在ABC中，角,,ABC的对边分别为a，b，c．若ABC为锐角三角形，且满足sin12cos2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是（）A.2abB.2baC.2ABD.2BA12.在三棱锥ABCD中，60BACBDC，二面角ABCD的余弦值为13，当三棱锥ABCD的体积的最大值为64时，其外接球的表面积为A.5B.6C.7D.8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知随机变量服从正态分布，则_____.14.函数在的零点个数为________．15.若函数为偶函数，则a＝_______.16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.-3-（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若恒成立，求的最小值.18.（本大题满分12分）在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面与平面所成二面角的正弦值．-4-19.（本大题满分12分）某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）计算该样本的平均值x，方差2s；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均值，2近似为样本方差2s.任取一个产品，记其质量指标值为X.若X，则认为该产品为一等品；2X，则认为该产品为二等品；若2X，则认为该产品为不合格品.已知设备A正常状态下每天生产这种产品1000个.（i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？（ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B.经测试，设备B正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B？参考数据：①0.6826PX；②220.9544PX；③330.9974PX，15012.2.-5-20.（本大题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求在处的切线方程;（Ⅱ）若时,恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.21.（本大题满分12分）在中，，，其周长是，是的中点，在线段上，满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，在的延长线上，过点的直线交轨迹于两点，直线与轨迹交于另一点，若，求的值.-6-（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程为(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（Ⅰ）写出的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．23.已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，对，使成立，求实数取值范围．-7-2019-2020学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试理科数学试题答案1.A2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.A10.A11.A12.B12.根据两个射影，结合球的图形，可知二面角ABCD的平面角为AMD；根据题意可知当ABAC，BDCD时，三棱锥ABCD的体积最大。根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。如图，设球心O在平面ABC内的射影为1O，在平面BCD内的射影为2O则二面角ABCD的平面角为AMD点A在截面圆1O上运动，点D在截面圆2O上运动，由图知，当ABAC，BDCD时，三棱锥ABCD的体积最大，此时ABC与BDC是等边三角形设BCa，则32AMDMa，234BCDSa6sin()3hAMAMDa31263124ABCDDBCVSha解得3a，所以32DM21DO，212OM，设2AMD则21cos22cos13解得tan2∴222tan2OOOM球O的半径222262RDOOO所求外接球的表面积为246SR故选B.-8-13.814.15.16.617.（1）由，得解得，或，（舍）.所以.（2）由（1）可知：.因为，所以单调递增.所以，恒成立时，又因为，故的最小值为8.18.（1）证明：设的中点为，连接，.∵，分别是，的中点，∴，且.由已知得，且.∴，且.∴四边形是平行四边形.∴.∵平面，平面，∴平面.-9-（2）连接，，设，连接，连接.设菱形的边长为，由题设得，，，平面，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设得，，，，，∴，.设是平面的法向量，则，化简得，令，则，.∴.同理可求得平面的一个法向量.∴.∴平面与平面所成二面角的正弦值为.19.（1）由频率分布直方图可得1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200,x-10-22222222(30)0.02(20)0.09(10)0.200.33100.24200.083020.02s150.（2）（i）方法一：由（1）得(2,2)(175.6,224.4)xsxs，由图可得质量指标值在(165,175)和(225,235)的频率为0.02+0.02=0.040.03，所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%.方法二：由于(||2)1(22)PxPx„=1-0.9544=0.04560.03.所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%.（ii）设，分别为设备A，B一天为工厂创造的利润，则11000(500.6826300.2718400.0456)EW1000(34.138.1541.824)40460，21200(500.7300.26400.04)EW1200(357.81.6)49440，所以采用新设备利润每天增加21()49440404608980EWEWEW，因此，只需56天使用设备B产生的利润就超过使用设备A产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B.20.（1），=1+1+a=2+a，又，在处的切线方程为y-0=，即.（2）若时,则，在上单调递增，则在上单调递增，①当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若,由在上单调递增由于，，故,使得.则当时,∴函数在上单调递减.∴,不恒成立.舍去-11-综上所述,实数的取值范围是.（3）证明:由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增.则,即.∴.∴,即21.（1）设则又所以A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，从而有（2）设，而显然直线不与x轴重合，故设其方程为代入椭圆方程得22.(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．-12-故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l与C的交点M的极径为.23.（1）解：不等式等价于或或，又无解，所以或，故不等式的解集为（2）由f(x)==，可知当x=时，f(x)最小，无最大值，求得，设A＝{y|y＝f（x）}，B＝{y|y＝g（x）}，则A={y|y},又=，即B＝{y|y}，由题意知A⊆B，所以，所以.