高中数学：函数的概念与性质

函数与导数、不等式[析考情•明重点]小题考情分析大题考情分析常考点1.函数的概念及其表示(5年3考)2.函数图象与性质及其应用(5年4考)3.线性规划问题(5年5考)4.函数与不等式问题(5年5考)函数与导数、不等式此部分内容是高考必考部分．(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题是高考命题的热点．(2)重点考查导数与极值、最值、单调区间、函数与图象的联系，利用导数证明不等式，求函数零点等．(3)有时结合二次函数考查函数的最值、零点等问题.偶考点1.基本初等函数的运算2.函数与方程3.不等式的性质4.利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题5.导数的几何意义函数的概念与性质小题考法——一讲第考点(一)函数的概念及表示主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求参数的值取值范围等.[典例感悟][典例](1)(2015·浙江高考)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|[解析]取x＝0，π2，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)＝x＋1，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝x2＋2x＋1＝|x＋1|，故选项D正确．综上可知，本题选D.[答案]D(2)(2019届高三·浙江镇海中学阶段测试)函数y＝9－x2log2x＋1的定义域是()A．(－1,3)B．(－1,3]C．(－1,0)∪(0,3)D．(－1,0)∪(0,3][解析]由题可知9－x2≥0，x＋10，log2x＋1≠0，即9－x2≥0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x≤3且x≠0，故选D.[答案]D(3)设函数f(x)＝2－x－1，x≤0，x，x0，则f(f(－4))＝________；若f(t)≥1，则log(t4＋1)的最大值为________．[解析]f(－4)＝15，f(15)＝15，所以f(f(－4))＝15.由f(t)≥1，得t≥1或t≤－1，所以log(t4＋1)≤log2＝－1.故log(t4＋1)的最大值为－1.[答案]15－11212121212[方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解[演练冲关]1．已知函数f(x)＝a1－x＋bcosπ2x＋x，且满足f(1－2)＝3，则f(1＋2)＝()A．2B．－3C．－4D．－1解析：当x1＋x2＝2时，f(x1)＋f(x2)＝a1－x1＋bcosπ2x1＋x1＋a1－x2＋bcosπ2x2＋x2＝a1－x1＋bcosπ2x1＋x1＋ax1－1＋bcosπ22－x1＋x2＝x1＋x2＝2.所以函数y＝f(x)的图象关于(1,1)对称，从而f(1＋2)＝2－f(1－2)＝2－3＝－1，故选D.答案：D2．(2018·杭州七校联考)已知函数f(x)＝12x，x≥0，2x－x2，x0，若f(2－a2)f(|a|)，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(－2,2)解析：由题意知，f(x)＝12x，x≥0，－x－12＋1，x0，作出函数f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在R上单调递增，由f(2－a2)f(|a|)，得2－a2|a|.当a≥0时，有2－a2a，即(a＋2)(a－1)0，解得－2a1，所以0≤a1；当a0时，有2－a2－a，即(a－2)(a＋1)0，解得－1a2，所以－1a0.综上所述，实数a的取值范围是(－1,1)，故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝log3x2－1|x|1，3x|x|≤1，则f(10)＋fcos600°4＝_______，若f(x)＝－1，则x＝_______.解析：由题意得f(10)＋fcos600°4＝log39＋3－18＝32.f(x)＝－1等价于log3x2－1＝－1，|x|1或3x＝－1，|x|≤1，解得x＝±233或x＝－1.答案：32－1或±233考点(二)函数的图象及应用主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式等问题.[典例感悟][典例](1)(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()[解析]由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝kπ2(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝π2，故排除C，选D.[答案]D(2)已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．[答案]C(3)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式fxcosx0的解集为________．[解析]在0，π2上y＝cosx0，在π2，4上y＝cosx0.由f(x)的图象知在1，π2上fxcosx0，因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝fxcosx为偶函数，所以fxcosx0的解集为－π2，－1∪1，π2.[答案]－π2，－1∪1，π2[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(2019届高三·浙江联盟联考)已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x－1)，则函数f(x)的图象不可能发生的情形是()解析：∵f(x)＝－f(x－1)，∴f(x)的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意，故选C.答案：C2．(2018·台州调研)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)(a∈R)，则在同一个坐标系下函数f(x＋a)与f(x)的图象不可能是()解析：首先函数y＝f(x)的图象过坐标原点．当a0时，y＝f(x＋a)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移后得到的，且函数f(x)在R上单调递增，此时选项B有可能，选项D不可能；当a0时，y＝f(x＋a)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移后得到的，且函数f(x)在0，－1a上为正，在－1a，＋∞上为负，此时选项A、C均有可能，故选D.答案：D3．(2018·浙江教学质量检测)已知函数f(x)＝1|x|－1，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R；②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③y＝f(x)的图象关于y轴对称；④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f(x)＝1|x|－1＝1x－1，x≥0，1－x－1，x0，其图象如图所示，由图象知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错误；在区间(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，故②错误；③y＝f(x)的图象关于y轴对称正确；因为函数在每个象限都有图象，故④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点正确．答案：③④考点(三)函数的性质及应用主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数值的取值范围、比较大小等.[典例感悟][典例](1)(2018·杭州二模)设函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)单调递增，F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2[g(x1)－g(x2)]2恒成立，则()A．F(x)，G(x)都是增函数B．F(x)，G(x)都是减函数C．F(x)是增函数，G(x)是减函数D．F(x)是减函数，G(x)是增函数[解析]对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2[g(x1)－g(x2)]2恒成立，不妨设x1x2，f(x)单调递增，∴f(x1)－f(x2)g(x1)－g(x2)，且f(x1)－f(x2)－g(x1)＋g(x2)，∵F(x1)＝f(x1)＋g(x1)，F(x2)＝f(x2)＋g(x2)，∴F(x1)－F(x2)＝f(x1)＋g(x1)－f(x2)－g(x2)＝f(x1)－f(x2)－[g(x2)－g(x1)]0，∴F(x)为增函数；同理可证G(x)为增函数，故选A.[答案]A(2)设函数f(x)＝2ax－1＋b(a0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性()A．与a无关，且与b无关B．与a有关，且与b有关C．与a有关，且与b无关D．与a无关，但与b有关[解析]因为f(－x)＝2a－x－1＋b＝－2axax－1＋b，所以f(－x)＋f(x)＝2b－2，所以当b＝1时函数f(x)为奇函数，当b≠1时函数f(x)为非奇非偶函数，故选D.[答案]D(3)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件fx＋32＝－f(x)，且函数y＝fx－34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点－34，0对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中正确结论的序号为________．[解析]f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确；函数fx－34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点－34，0对称，②正确；因为f(x)的图象关于点－34，0对称，－34＝－x＋－32＋x2，所以f(－x)＝－f－32＋x，又f－32＋x＝－f－32＋x＋32＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正确；f(x)是周期函数，在R上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.[答案]①②③[方法技巧]函数3个性质的应用奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,