概率论与数理统计(龙永红)

一、随机变量的概念•从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特征。这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性，因此称为随机变量。•随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。•有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子的点数、灯泡的使用寿命等。•而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现正面时用1表示，出现反面时用0表示。随机变量的直观定义例1将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么，对样本空间Ω={ω}中的每一个样本点ω，X都有一个值与之对应，即有样本点X的值HHHHHTHTHHTTTHTTTHTTT3221110随机变量的数学定义都是随机事件。RXωΩ设E是一个随机试验，Ω是其样本空间。我们称样本空间上的函数为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合随机变量X生成的事件域：小事件域的事件的最包含所有形如}{XxX)(随机变量X所包含的信息集：XXXxXx：事件域:(1)Ω∈F；(2)若A∈F，则A∈F；(3)若A1，A2，…，An，…∈F，iiA1则∈F。(信息集)由一些事件组成的满足以下三个条件的集合F：事件域的数学定义说明、、、文字母随机变量常用大写的英⑴ZYX等来表示。、、、或希腊字母表示。、、、文字母机变量的值常用小写英随常关心的是它的取值，对于随机变量，我们常⑵zyx述随机事件。描要用随机变量的取值来我们定义随机变量，是⑶(4)概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量的概率分布。概率分布完整地描述了随机变量取值的统计规律性。例2掷一颗骰子，用X表示出现的点数。则X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则4X表示掷出的点数不超过4这一随机事件；取偶数X表示掷出的点数为偶数这一随机事件．在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．例如我们可以定义：出现奇数点出现偶数点01Y6061点数不为点数为Z例3上午8:00～9:00在某路口观察，用Y表示该时间间隔内通过的汽车数。则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…。100Y表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；10050Y表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．注意Y的取值是可列无穷个！例4观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生物的寿命。则Z就是一个随机变量。它的取值为所有非负实数。1500Z表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．注意Z的取值是无界的区间！3000Z二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的定义如果随机变量X的全部不同取值是有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的所有可能取值为，，，，kxxx21,2,1kpxXPkk则称X1x2x，kxP1p2p，kp为离散型随机变量X的概率分布或例5投掷一枚均匀硬币，设X为一次投掷中出现正面的次数，即THX01于是X的概率分布为X10P2121或者表示为210211X离散型随机变量概率分布的性质0kpk，有对任意的自然数⑴11kkp⑵例6设离散型随机变量X的概率分布为;3,2,1321iaiXPi分别求上述各式中的常数a。,2,1322iaiXPi如果给定离散型随机变量X的概率分布，那么用X表示的任何一个事件的概率都可由这个概率分布计算。也就是说，这个概率分布定义了一个事件域σ(X)上的一个概率测度。IxiixPIXP)(}{离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的统计规律性提供了一目了然的描述。例7设X的概率分布为例6的(1)给出，即;3,2,1323827iiXPi求下列各事件的概率{X1}、{X≤1}、{X2}、{X2.5}、{X≤3}、{X≤4}。三、分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：).()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxPx1x2xXo}{)(xXPxF0xxX随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了直观的描述。例8等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布函数).()(1212xFxFxx时，即当10F(x)是一个不减的函数．分布函数的性质且20,1)(0xF;0)(lim)(xFFx.1)(lim)(xFFx),()0(30xFxF.)(是右连续的即xF01231F(x)x例设随机变量X的概率分布为：求X的分布函数.01Xpk2121解：当x0时，}{)(xXPxF四、离散型随机变量的分布}{P.0,10时当x}{)(xXPxF}0{XP.21,1时当x}{)(xXPxF}10{XXP或.111102100)(xxxxF01x1例设随机变量X的分布函数为.3,1,32,1915,21,199,1,0)(xxxxxF0123x1199196194Xpk196123194199xxkkpxXPxF}{)(分布函数概率分布}{kkxXPp离散型随机变量概率分布与分布函数的关系例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：(1)若x0,则{X≤x}是不可能事件，于是.0)(}{)(PxXPxF（2）,}0{,202xkxXPx由题意，若X五、连续型随机变量及其概率密度时于是，20x.4}0{}0{}{)(2xxXPXPxXPXF（3）若,则是必然事件，于是}{xX2x.1}{)(xXPxF.4}20{,4/12xxPk即得与上式对比由已知得取,1}20{,2xPx.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF01231F(x)x.,0,20,2)(其它若记tttf.d)()(ttfxFx则,],()()(上的积分在区间恰是非负函数xtfxF量的概念由此引入连续型随机变连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量X的分布函数是连续函数．由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：.0)(10xf.1)(20dxxff(x)0x1)(.)()()(}{3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf(x)x01x2xxxxXxPxxFxxFxfxx}{)()()(limlim00).()()(40xfxFxxf处连续，则有在点若由这个性质可知xxfxxXx)(}P{因此注意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！我们不能认为：！afaXP有对任意的实数是连续型随机变量，则设,aX0aXP连续型随机变量的一个重要特点说明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGXGdxxfGXP连续型随机变量的概率密度定义了事件域σ(X)上的一个概率测度。概率密度也为连续型随机变量的统计规律性提供了直观的描述。