数值分析(研究生)第二章插值与拟合三

上页下页返回第七节曲线拟合的最小二乘法第八节最佳平方逼近第二章插值、逼近与拟合（三）上页下页返回仍然是已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x).但是①m很大；②yi本身是测量值，不一定准确，即yi不一定等于f(xi)；这时不能取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法：使最小|)(|max1iimiyxP使最小miiiyxP1|)(|使最小miiiyxP12|)(|§7曲线拟合的最小二乘法③xi可能会重复出现.上页下页返回一、最小二乘拟合多项式确定多项式，对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)使得达到极小，这里nm。nnxaxaaxP...)(10miiiyxP12])([实际上是a0,a1,…,an的多元函数，即[]miinininyxaxaaaaa121010...),...,,(在的极值点应有nkak,...,0,0kimiiikaxPyxPa)(])([201kiminjijijxyxa10][2njmikiimikjijxyxa0112记mikiikmikikxycxb11,nnnnnnccaabbbb.....................000000定理最小二乘拟合多项式存在唯一(nm).上页下页返回定理Ba=c的解确是的极小点.即：设a为解，则任意b=(b0b1…bn)T对应的多项式必有njjjxbxF0)(mimiiiiibyxFyxPa1122)(])([])([)(证明：miiimiiiyxPyxFab1212])([])([)()(miiimiiiiiyxPyxPxPxF1212])([])()()([miiiiimiiiyxPxPxFxPxF112])()][()([2)]()([注：最小二乘法首先要求设定P(x)的形式.若设n=m1，则可取P(x)为过m个点的m1阶插值多项式，这时=0.P(x)不一定是多项式，通常根据经验确定.上页下页返回例11xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy)(求a和b使得最小.miiiiybaxxba12)(),(线性化：令，则xXyY1,1bXaY就是个线性问题将化为后易解a和b.),(iiYX),(iiyx上页下页返回方案二：设xbeaxPy/)((a0,b0)线性化：由可做变换xbaylnlnbBaAxXyY,ln,1,lnBXAY就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyxxbAeaxPBbea/)(,,.25.0]5,5[,11)(122作多项式拟合取步长对例hxxxf上页下页返回最小二乘拟合二次多项式ƒ(x)=-0.0260x²+0.4985上页下页返回最小二乘拟合四次多项式ƒ(x)=0.0027x^4-0.0866x²+0.6593上页下页返回最小二乘拟合六次多项式ƒ(x)=-0.0003x^6+0.0127x^4-0.1748x^2+0.7699上页下页返回最小二乘拟合十次多项式ƒ(x)=-3.342e-006x^10+0.00023x^8-0.0061x^6+0.0721x^4-0.3904x^2+0.8974上页下页返回最小二乘拟合十四次多项式ƒ(x)=-4.7667e-008x^14+4.4051e-006x^12-0.0002x^10+0.0032x^8-0.0335x^6+0.1954x^4-0.6003x^2+0.9564上页下页返回误差分析分别对用前面三种方法(n=10时）的结果进行最大误差比较可知：牛顿法的最大误差点为x=4.7120,Δd=1.8978；分段线性插值法的最大误差点为x=0.3571,Δd=0.0672；最小二乘法的最大误差点为x=0.0115,Δd=0.1023.所以在本问题中，分段线性插值法效果最好,最小二乘法次之,牛顿法的误差最大.通过三种方法的图形演示,也可看出：分段线性插值法的整体误差最小,最小二乘法次之,牛顿法的误差最大,且高阶时会出现龙格现象.由此可知，虽然都是求函数近似解的方法，但应用对象大不相同.上页下页返回1.260.177.90.52.254321.1322iiyxbxay相拟合，并求均方误差列数据的经验公式，使它与下用最小二乘法求一形如例.6242114yxyxyx定（矛盾）方程组用最小二乘法解下列超例上页下页返回二、一般的最小二乘法)1.7(])([min])([02)(02*0222miiixSmiiimiiyxSyxS)2.7().()()()()(1100mnxaxaxaxSnn其中.))(,(],[0)()3.7()]()()[(022222比重不同处的数据同点上的权函数，它表示不是通常考虑为加权平方和小二乘法中，为了更具一般性，在最iimiiiixfxbaxxfxSx上页下页返回..),,,()4.7()]()()[(),,,(.)3.5()()()2.7(**1*000210*完全类似这与上一节讨论的问题问题的极小值它转化为求多元函数取得最小，使求一函数中的线的问题，就是在形如用最小二乘法求拟合曲nminjiijjinaaaxfxaxaaaIxSyxS上页下页返回(7.5)(7.6)上页下页返回(7.7)上页下页返回.)(022222nkkkaAf(7.8)(7.9)上页下页返回.15的数据最小二乘法拟合下表中试用正交三次多项式以例xi-2-1012yi-0.10.10.40.91.6),,1,0()()()()()()1,,2,1()()()()()1,,1,0()()()()()1,,2,1()()()()()()()(1)(020021021020211110110nkxPxxPxfxankxPxxPxnkxPxxPxxnkxPxPxxPxPxxPxPmiikimiikiikmiikimiikikmiikimiikiikkkkkk解上页下页返回.431)(，列表计算各数据，，这里，mnxixyP0P02xP02P1P12xP12P2P22xP22P3P320-2-0.111-2-24-824-8-1.21.441-10.111-1-11-1-11-12.45.76200.4110000-24000310.9111111-111-2.45.76421.61122482481.21.44Σ02.955001000140014.4xxxPxPxxPPPPPxxxPxPxxPPPPPxxxPxxPPPxiii4.3)()()()(4.102)()()()(20)()()(03112332122222223201122202112121201120201上页下页返回3232332211002333222221112000008333.00857.03917.04086.0)4.3(008333.0)2(0857.042.058.0)()()()()(008333.0)()(0857.0)()(42.0)()(58.0)()(xxxxxxxxPaxPaxPaxPaxSyxPxPyaxPxPyaxPxPyaxPxPyaiiiiiiiiiiii上页下页返回§8最佳平方逼近上节讨论的是：已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)使得最小.miiiyxP12|)(|现在要讨论的是连续的情形：已知[a,b]上定义的f(x)，求一个简单易算的近似函数P(x)使得最小.badxxfxP2)]()([一、函数逼近与函数空间1、函数逼近这就是最佳平方逼近的问题.为了解决这一问题，需要一些预备知识.在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得．用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方便．因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近似已知函数f(x)．例如，台劳展开式的部分和nnnxxnxfxxxfxfxP)(!)()(!1)()()(00)(000上页下页返回就是的一种近似公式．用它求x0附近的函数值误差较小，当|x-x0|较大时误差就很大．例如在[-1，1]上用近似，其误差，于是432424161211)(xxxxxPxe)1,1(,120)()(544exxPexRx.0226.0120)(max,120)(41154exRxexRx它在整个区间上误差较大．若在计算机上用这种方法计算，如精度要求较高，则需取很多项，这样既费时又多占存储单元，因此，我们要求在给定精度下求计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近与计算要解决的问题.这问题可叙述为：“对函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数,使P(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a，b]上的连续函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式．ABxP)(上页下页返回2、函数空间数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.；阶连续导数的函数空间具有连续函数空间；多项式空间；维向量空间；例如pbaCbaCnpnn:],[:],[:H:R定义4设集合S是数域P上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得，则称线性相关.否则，则称线性无关.Sxxn,1，P,1naa，011nnxaxanxx,1，nxx,1，若线性空间S是由n个线性无关元素生成的，即对nxx,1，.),,(,,,,,,span,,1111111nnnnnnnaaxxxaanSxxSSxxxaxaxSx下的坐标，记作在基称为维空间，系数为，称空间记为的一组基，称为空间，则都有：上页下页返回二、正交多项式与正交函数族正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有重要作用.(8.1)(8.2).之为标准正交函数族上页下页返回(8.3).0),(0),()();(210),()(16321202322210111cccxcxxabccxx、，得：，，由设，得：，由设例如上页下页返回(8.4)上页下页返回..)()()()()(),(),()(),(),()()(),(),()(),(),()()(1111111111证毕即所以于是得xxaxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.),()1)(()(],[)()5(0内的单重实根个根都是在区间的的正交多项式序列，则上带权是在设bannxxbaxnn).(1)(1)(]1,0[)(17200xxxxxn，求多项式序列，且的正交的最高次项系数为上带权是在设例上页下页返回1、勒让德多项式(8.5)上页下页返回.]11[)(5.]11[)(~14).()()12()()1(3).()1()(2.,122;,0)(d)()(11111个不同的实零点