数值分析(研究生)第六章矩阵特征值问题

第六章矩阵特征值问题计算——幂法、反幂法上页下页返回计算矩阵的主特征根及对应的特征向量原始幂法条件：A有特征根|1||2|…|n|0，对应n个线性无关的特征向量.nxx,...,1思路：从任意出发，要求0)0(0),(1)0(x0,11)0(niiix)0()1(Aniiiix1)1()2(Aniiiix12………niikiikniikiikkxxA1111)1()(|i/1|1当k充分大时，有1111)1(111)(,xxkkkk这是A关于1的近似特征向量)(1111)(kkkxAA1)1()()()(ikik上页下页返回)0(定理设ARnn为非亏损矩阵，其主特征根1为实根，且|1||2|…|n|.则从任意非零向量(满足)出发,迭代收敛到主特征向量，收敛到1.0),(1)0(1xv)0()(kkA1xikik)/()()()1(每个不同的特征根只对应一个Jordan块注：结论对重根1=2=…=r成立.riiikrinriikiiiikkxxx111111)(若有1=2，则此法不收敛.任取初始向量时，因为不知道，所以不能保证10，故所求得之不一定是，而是使得的第一个，同时得到的特征根是m.1x)(k1x0),()0(mxmx上页下页返回规范化为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保证，再代入下一步迭代.一般用.1||||||max||||1iniv记||||||)()(kikk则有：10)()0(1)1()1()1(||||1kssikkikkskvvAvvu10)()0()1()(||kssikkksvvAuAv||)()()(kikkkvvu1x)()1()(11kikikikvuv上页下页返回原点平移法niikiikkkxA111)1()(决定收敛的速度，特别是|2/1|希望|2/1|越小越好.不妨设12…n，且|2||n|.12nOp=(2+n)/2思路令B=ApI，则有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|Ap=B.而，所以求B的特征根收敛快.||||||||1212ppQ:Whatfactordeterminesthespeedofconvergence?上页下页返回反幂法若A有|1||2|…|n|，则A1有对应同样一组特征向量.11111…nnA1的主特征根A的绝对值最小的特征根Q:Howmustwecomputeineverystep?)(1)1(kkAA:SolvealinearsystemwithAfactorized.)()1(kkA若知道某一特征根i的大致位置p，即对任意ji有|ip||jp|，并且如果(ApI)1存在，则可以用反幂法求(ApI)1的主特征根1/(ip)，收敛将非常快.思路